（整理）2一致收敛函数列与函数项级数的性质

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?定理13.14（逐项求导）若函数项级数

?un?1n(x)在区间[a,b]上每一项un(x)都有连续导函数，

??(x)在区间[a,b]上一致收敛，则 x0?[a,b]为函数项级数?un(x)的收敛点，且?unn?1n?1?dd?(?un(x)). ?(un(x))?dxn?1n?1dx

注：即在一致收敛的条件下，求（无限项）和运算与求导运算可以交换顺序。 最后，我们指出，本节中六个定理的意义不只是检验函数列或函数项级数是否满足关系式（2）-（4），（6）-（8），更重要的是根据定理的条件，即使没有求出极限函数或和函数，也能由函数列或函数项级数本身获得极限函数或和函数的解析性质。

例3 设 un(x)?

证明函数项级数

?122ln1(?nx)，n?1,2,?. 3n?un?1?n(x)在[0,1]上一致收敛，并讨论其和函数在[0,1]的连续性、可积性与可微性.

证明： 对每一个n， 易见un(x)为[0,1]上增函数， 故有

un(x)?un(1)?212ln(1?n), n?1,2,?. 3n又当t?1时， 有不等式ln(1?t)?t, 所以 un(x)?

??1以收敛级数?2为?un(x)的优级数， 推得?un(x)在[0,1]上一致收敛.

nn?1n?1?112ln(1?n)?, n?1,2,?. 32nn由于每一个un(x)在[0,1]上连续, 根据定理13.12与定理13.13,

?un?1n(x)的和函数S(x)在[0,1]上

?(x)?连续且可积. 又由 un2x2x1??, n?1,2,?. 222n(1?nx)n?2nxn??1?(x)的优级数， 推得?un?(x)也在[0,1]上一致收敛. 由定理13.14, 得即收敛级数?2也是?unnn?1n?1精品文档

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S(x)在[0,1]上可微.

课后作业题： 1 （2）、2、4、6、7。

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