专题10 二次函数的图像、性质和应用（解析版）

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∵△OBC是直角三角形，

∴欲使以A、D、C三点中.考.资.源.网为顶点的三角形与△OBC相似，必有Rt△ACD 1若在△ACD中，∠ACD=90°，则AC2+CD2=AD2,即：（9+9m2）+（1+m2）=4+16m2 ○

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【考点】二次函数综合题.

9．（吉林）如图①，直线l：y=mx+n（m＞0，n＜0）与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线．

（1）若l：y=﹣2x+2，则P表示的函数解析式为 ；若P：y=﹣x﹣3x+4，则l表示的函数解析式为 ．

（2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）；

（3）如图②，若l：y=﹣2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标； （4）如图③，若l：y=mx﹣4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM=

，直接写出l，P表示的函数解析式．

2

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+2；y=﹣4x+4． （2）P的对称轴为x=﹣

mn?n． 2m 34

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（3）点Q坐标为Q1（﹣1，

717）、Q2（﹣1，）． 22（4）l表示的函数解析式为：y=﹣2x+4；P：y=﹣【解析】

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x﹣x+8． 4

∴P表示的函数解析式为：y=﹣x2﹣x+2；

若P：y=﹣x2﹣3x+4=﹣（x+4）（x﹣1），则D（﹣4，0），A（1，0）． ∴B（0，4）．

设l表示的函数解析式为：y=kx+b，将点A、B坐标代入得：

?k?b?0?k??4，解得， ??b?4b?4??∴l表示的函数解析式为：y=﹣4x+4． （2）直线l：y=mx+n（m＞0，n＜0）， 令y=0，即mx+n=0，得x=﹣

n；令x=0，得y=n． m∴A（﹣

n，0）、B（0，n）， m∴D（﹣n，0）．

设抛物线对称轴与x轴的交点为N（x，0）， ∵DN=AN，∴﹣

n﹣x=x﹣（﹣n）， m 35

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∴2x=﹣n﹣

n， m∴P的对称轴为x=﹣

mn?n． 2m（3）若l：y=﹣2x+4，则A（2，0）、B（0，4）， ∴C（0，2）、D（﹣4，0）． 可求得直线CD的解析式为：y=

1x+2． 2

∴△OGH为等腰直角三角形．

∵点G为GH中点，∴△OMG为等腰直角三角形， ∴OG=2OM=2?10=25， ∴AB=2OG=45．

∵l：y=mx﹣4m，∴A（4，0），B（0，﹣4m）．

在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA2+OB2=AB2，即：42+（﹣4m）2=（45）2， 解得：m=﹣2或m=2，

∵点B在y轴正半轴，∴m=2舍去，∴m=﹣2．

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