专题10 二次函数的图像、性质和应用(解析版)

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7．（南平）如图，已知抛物线y??（1）求抛物线的解析式；

12，B（4，0）两点． x?bx?c图象经过A（-1，0）

2（2）若C（m，m-1）是抛物线上位于第一象限内的点，D是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过点D分别作DE∥BC交AC于E，DF∥AC交BC于F． ①求证：四边形DECF是矩形；

②连结EF，线段EF的长是否存在最小值？若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1) y??【解析】

试题分析：（1）根据待定系数法即可求得； （2）把C（m，m-1）代入y??AB=5

123（2）①证明见解析；②2. x?x?2；

2212从而求得AH=4，CH=2，BH=1，x?bx?c求得点C的坐标，

2，

然

后

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解得：m=3或m=-2，

∵C（m，m-1）位于第一象限， ∴??m0，

m?10?∴m＞1， ∴m=-2舍去， ∴m=3，

∴点C坐标为（3，2），

由A（-1，0）、B（3，0）、C（3，2）得 AH=4，CH=2，BH=1，AB=5 过C点作CH⊥AB，垂足为H，则∠AHC=∠BHC=90°， ∵

AHCHAHC=∠BHC=90° ??2，∠

CHBH∴△AHC∽△CHB，

∴∠ACH=∠CBH，[来源:中.考.资.源.网] ∵∠CBH+∠BCH=90° ∴∠ACH+∠BCH=90°

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考点：二次函数综合题．

8．（衡阳）已知某二次函数的图象与x轴分别相交于点A(-3，0)和点B（1，0），与y轴相交于点C（0，-3m）(m＞0)，顶点为点D。

⑴求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；

⑵如图①，当m=2时，点P为第三象限内抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；

⑶如图②，当m取何值时，以A、D、C三点为顶点的三角形与△OBC相似？

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∴该二次函数的解析式为：y=m(x+3)(x-1)=mx2+2mx-3m.

（2）当m=2时，点C的坐标为(0，-6)，该二次函数的解析式为y=2x2+4x-6 ∵点A的坐标为（-3，0），点C的坐标为(0，-6) ∴直线AC的解析式为yAC=-2x-6 过点P作PE⊥x轴于点E，交AC于点F

∵点P为第三象限内抛物线上的一个动点且点P的横坐标为x(-3＜x＜0) ∴点P的坐标为(x，2x2+4x-6)，点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，-2x-6）

S?S四边形OAPC?S?OAC??S?PAE?S梯形OCPE??S?OAC==

?AEPE?OC?PE?OE?OAOC?????222??1(AEPE?OEOC?OEPE?OAOC) 21(AEPE?OEPE?OEOC?OAOC) 2 32