专题10 二次函数的图像、性质和应用(解析版)

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S△ABC=

11AB?OC=×26×6=66． 22

综上所述：点A、B、C、D围成的多边形的面积为4+26或66．

考点：1、解一元二次方程；2、待定系数法求二次函数解析式；3、勾股定理；4、切线长定理．

2．（镇江）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点M为抛物线y??x2?2nx?n2?2n的顶点，过点（0，4）作x轴的平行线，交抛物线于点P、Q（点P在Q的左侧），PQ=4． （1）求抛物线的函数关系式，并写出点P的坐标；

（2）小丽发现：将抛物线y??x2?2nx?n2?2n绕着点P旋转180°，所得新抛物线的顶点恰为坐标原点O，你认为正确吗？请说明理由；

（3）如图2，已知点A（1，0），以PA为边作矩形PABC（点P、A、B、C按顺时针的方向排列），

PA1?． PBt①写出C点的坐标：C（ ▲ ， ▲ ）（坐标用含有t的代数式表示）； ②若点C在题（2）中旋转后的新抛物线上，求t的值．

【答案】（1）y??x2?8x?8；（2，4）；（2）正确，理由见解析；（3）①-4t+2，4+t；②【解析】

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试题分析：（1）把P的纵坐标代入抛物线的解析式得到关于x的方程，根据根与系数的关系求得和PQ=4，求得n的值，即可求得解析式.

（2）根据旋转的性质得到Q绕着点P旋转180°后的对称点为Q′（-2，4），得出新抛物线的对称轴是y轴，然后求得抛物线的顶点到直线PQ的距离为4，即可判断新抛物线顶点应为坐标原点．

（3）①根据三角形相似即可求得C的坐标：

②由（1）可知，旋转后的新抛物线是y?ax2，新抛物线是y?ax2过P（2，4），求得新抛物线的解析式，把C（-4t+2，4+t）代入即可求得t的值．

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∵P（2，4），PQ=4，∴Q绕着点P旋转180°后的对称点为Q′（-2，4）. ∴P与Q′正好关于y轴对称.

考点：1.二次函数综合题；2.线动旋转问题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.一元二次方程根与系数的关系；5.二次函数的性质；6. 旋转和轴对称的性质；7.方程思想的应用.

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3．（无锡）如图，二次函数y=ax2+bx（a＜0）的图象过坐标原点O，与x轴的负半轴交于点A，过A点的直线与y轴交于B，与二次函数的图象交于另一点C，且C点的横坐标为﹣1，AC：BC=3：1． （1）求点A的坐标；

（2）设二次函数图象的顶点为F，其对称轴与直线AB及x轴分别交于点D和点E，若△FCD与△AED相似，求此二次函数的关系式．

【答案】（1）（﹣4，0）；（2）y=﹣x2﹣4x． 【解析】

∵AC：BC=3：1，∴

BC1?． AB4CMBC1??. OAAB4∵CM∥OA，∴△BCM∽△BAO. ∴

∵C点的横坐标为﹣1，∴CM=1. ∴OA=4CM=4.

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