数值分析实验报告

数 值 分 析 实 验 报 告

学院：计算机学院班级：信计姓名：陈梦学号： 0801班 0808060107

高斯列主元消去法及追赶法

一、 上机题目

1、用高斯列主元消去法求解线形方程组：

?0.0012.0003.000??x1??1.000??????? ??1.0003.7124.632??x2???2.000?.

??2.0001.0725.643??x??3.000????3???2、用追赶法解三对角方程组Ax=b,其中

00??2－10?1?????0??－12－10?0? A＝?0－12－10?， b??0?.

????0－12－1??0?0??0??0?00－12????

二、 数学模型建立

1、

高斯列主元消去法

用高斯消去法求解线性方程组时,应避免小的主元.在实际计算中,进行

(k?1)第k步消去前,应该在第k列元素aik (i=k,…,n)中找出绝大值最大者,例

如

k?1)(k?1) ∣a(pk∣=maxaik

k?i?nk?1)再把第p个方程与第k个方程组进行交换,使a(pk成为主元.我们称这个过程

为选主元.由于只在第k列元素中选主元,通常也称为按列选主元(或称部分选主元).

如果在第k步消去前,在第k个方程到第n个方程所有的xk到xn的系数

(k?1) (i=k,…,n;j=k,…,n)中,找出绝对值最大者,例如 aij

k?1)(k?1)∣a(pq∣=max∣aij∣

k?i,j?nk?1)再交换第k,p两个方程和第k,q两个未知量的次序,使a(pq成为主元. 称这

个过程为完全选主元.

不论是哪种方式选出主元,而后再按上面介绍的计算步骤进行消去的计算,一般都称为选主元的高斯消去法.在实际计算中,常用按列选主元的高斯消去法.

2、 追赶法

在一些实际问题中，例如解常微分方程边值问题，解热传导方程以及船体数学放样中建立三次样条函数等，都会要求解系数矩阵为对角占优的三对角线方程组

?b1??a2?????c1b2?c2?an?1?bn?1an??x1????????x2????????????cn?1??xn?1?????bn???xn??f1??f2???， ?fn?1?fn??简记为Ax?f.

求解Ax?f等价于解两个三角形方程组：

Ly?f,求y；Ux?y,求x.从而得到解三对角线方程组的追赶法公式：

(1)计算??i?的递推公式

?1?c1/b1,?i?ci/?bi?ai?i?,i?2,3,?,n?1;

(2) 解Ly?f

y1?f1/b1,yi??fi?aiyi?1?/?bi?ai?i?1?,i?2,3,?,n; (3)解Ux?y

xn?yn,xi?yi??ixi?1,i?n?1,n?2,?2,1. 我们将计算系数

?1??2????n?1及y1?y2???yn的过程称为追的过程，将计算方程组的解

xn?xn?1???x1的过程称为赶的过程。三、 算法分析

1、 高斯列主元消去法

该算法的主要思想是通过在主函数main()中依次调用三个函数input()、gaosi()、solution()来实现列主元的消去并求出方程组的解。其中函数input()用来输入方程组的个数、系数矩阵及右端项的值；然后在函数gaosi()中通过三重for循环语句，判断是否需要进行行的交换即主元的选择，进而来实现高斯列主元消去算法，并在运行时将每次进行主元选择后的系数矩阵都输出了；最后，调用函数solution()输出方程组的解。

2、 追赶法

在该算法中，定义了三个一维数组来存放主对角线下方、主对角线及主对角线上方的元素的值。在主函数main()中，输入主对角线下方、主对角线及主对角线上方的元素，并输入右端项，然后通过调用函数LUDecompose()

和backSubs()来实现追赶法，其具体算法见程序部分，最后在主函数中将计算的方程组的解输出即可。

四、 程序源代码

1、 高斯列主元消去法

#include #include int n;

float a[50][50],b[50]; void output() { int i,j;

printf(\用高斯列主元消去法得:\\n\ for(i=0;i

printf(\ printf(\ printf(\ } }

void input() { int i,j;

printf(\请输入方程组的个数n:\