2018版高考数学大一轮复习集合与函数

第1讲 集 合

最新考纲 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．

知 识 梳 理

1．元素与集合

(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和?. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． 2．集合间的基本关系

(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A?B或B?A.

(2)真子集：若A?B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则A(3)相等：若A?B，且B?A，则A＝B.

(4)空集的性质：?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．集合的基本运算

符号表示 集合的并集 A∪B 集合的交集 A∩B 集合的补集 若全集为U，则集合A的补集为?U A B或BA.

图形表示 集合表示 4.集合关系与运算的常用结论

(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个． (2)子集的传递性：A?B，B?C?A?C． (3)A?B?A∩B＝A?A∪B＝B．

(4)?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．

诊 断 自 测

1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)任何集合都有两个子集．( )

(2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A＝B＝C.( ) (3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.( ) (4)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( )

解析 (1)错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的． (2)错误．集合A是函数y＝x2的定义域，即A＝(－∞，＋∞)；集合B是函数y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)；集合C是抛物线y＝x2上的点集．因此A，B，C不相等．

(3)错误．当x＝1，不满足互异性． (4)错误．当A＝?时，B，C可为任意集合． 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×

2．(教材改编)若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下列结论正确的是( ) A．{a}?A

B．a?A

C．{a}∈A

D．a?A

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{x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x?A} 解析 由题意知A＝{0，1，2，3}，由a＝22，知a? A. 答案 D

3．(2016·全国Ⅰ卷)设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝________． 3??

A.?－3，－2? ??

3??

B.?－3，2? ??

3??

C.?1，2? ??

?3?

D.?2，3? ??

?3??3?

解析 易知A＝(1，3)，B＝?2，＋∞?，所以A∩B＝?2，3?.

????答案 D

4．(2017·济南模拟)设全集U＝{x|x∈N＋，x<6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则?U(A∪B)等于( ) A．{1，4}

B．{1，5}

C．{2，5}

D．{2，4}

解析 由题意得A∪B＝{1，3}∪{3，5}＝{1，3，5}．又U＝{1，2，3，4，5}，∴?U(A∪B)＝{2，4}． 答案 D

5．已知集合A＝{(x，y)|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个数为________．

解析 集合A表示圆心在原点的单位圆，集合B表示直线y＝x，易知直线y＝x和圆x2＋y2＝1相交，且有2个交点，故A∩B中有2个元素． 答案 2

考点一 集合的基本概念

例1 (1)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( ) A．1

B．3

C．5

D．9

(2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝( ) 9

A.2

9 B.8

C．0

9

D．0或8 解析 (1)当x＝0，y＝0，1，2时，x－y＝0，－1，－2； 当x＝1，y＝0，1，2时，x－y＝1，0，－1； 当x＝2，y＝0，1，2时，x－y＝2，1，0.

根据集合中元素的互异性可知，B的元素为－2，－1，0，1，2，共5个． (2)若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．

2

当a＝0时，x＝3，符合题意；

9

当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝8，

9

所以a的取值为0或8. 答案 (1)C (2)D

规律方法 (1)第(1)题易忽视集合中元素的互异性误选D.第(2)题集合A中只有一个元素，要分a＝0与a≠0两种情况进行讨论，此题易忽视a＝0的情形． (2)用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合． 【训练1】 (1)设

??b?a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝0，a，b?，则??

b－a＝________．

(2)已知集合A＝{x∈R|ax2＋3x－2＝0}，若A＝?，则实数a的取值范围为________．

??b

解析 (1)因为{1，a＋b，a}＝?0，a，b?，a≠0，

?

?

所以a＋b＝0，且b＝1，

所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2. (2)由A＝?知方程ax2＋3x－2＝0无实根， 2

当a＝0时，x＝3不合题意，舍去； 9

当a≠0时，Δ＝9＋8a<0，∴a<－8. 9??

答案 (1)2 (2)?－∞，－8?

??考点二 集合间的基本关系

例2 (1)已知集合A＝{x|y＝1－x2，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则( ) A．AB

B．BA

C．A?B

D．B＝A

(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1

解析 (1)易知A＝{x|－1≤x≤1}， 所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}． 因此BA.

(2)当B＝?时，有m＋1≥2m－1，则m≤2. 当B≠?时，若B?A，如图．