专题06“三招”妙解导函数零点问题(第一篇)-2019年高考数学压轴题命题区间探究与突破(解析版)

令g(x)?x?1＋x?x?0?， xe?1?xex?1ex(ex?x?2)则g??x?＝x ＋1＝2x2(e?1)(e?1)由(1)知，函数h(x)＝ex－x－2在(0，＋∞)上单调递增．而h(1)<0，h(2)>0，所以h(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点．故g′(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点．设此零点为α，则α∈(1,2)．

当x∈(0，α)时，g′(x)<0；当x∈(α，＋∞)时，g′(x)>0.所以g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g(α)． 又由g′(α)＝0，可得eα＝α＋2，所以g(α)＝α＋1∈(2,3)． 由于①式等价于k

类型三 二次构造（求导），避免求根

【例3】已知函数f(x)＝ln(ax＋1)＋x3－x2－ax. (1)若x＝

23为y＝f(x)的极值点，求实数a的值； (2)若y＝f(x)在[1，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围； (3)若a＝－1时，方程f(1－x)－(1－x)3＝bx有实根，求实数b的取值范围． 【答案】

(2)因为f(x)在[1，＋∞)上为增函数， 所以f′(x)＝

aax?1＋3x2－2x－a ＝x[3ax2?(3?2ax)?(a2?2)]ax?1?0在[1，＋∞)上恒成立．

当a＝0时，f′(x)＝x(3x－2)，此时f(x)在[1，＋∞)上为增函数恒成立，故a＝0符合题意； 当a≠0时，由ax＋1>0对x>1恒成立，知a>0. *网 所以3ax2＋(3－2a)x－(a2＋2)≥0对x∈[1，＋∞)恒成立．

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令g(x)＝3ax2＋(3－2a)x－(a2＋2)，其对称轴为x＝

11111，因为a>0，所以?<，所以g(x)在[1，＋?32a32a3∞)上为增函数，所以只需g(1)≥0即可，即－a2＋a＋1≥0，解得0

1?52].

∴函数h(x)＝g′(x)在（1?76，+∞）上递减． 又g′(1)＝0，∴存在x1?70∈(0,

6)，使得g′(x0)＝0. 当00，∴函数g(x)在(x0,1)上递增； 当x>1时，g′(x)<0，∴函数g(x)在(1，＋∞)上递减． 又当x→＋∞时，g(x)→－∞.

又g(x)＝xln x＋x2－x3＝x(ln x＋x－x2)≤x(lnx?14)， 当x→0时，ln x＋

14<0，则g(x)<0，且g(1)＝0， ∴b的取值范围为(－∞，0]．学. 【指点迷津】

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当导函数的零点不易求时，可以通过进一步构造函数，求其导数，即通过“二次求导”，避免解方程而使问题得解.如上面例题，从题目形式来看，是极其常规的一道导数考题，第(3)问要求参数b的范围问题，实际上是求g(x)＝x(ln x＋x－x2)极值问题，问题是g′(x)＝ln x＋1＋2x－3x2＝0这个方程求解不易，这时我们可以尝试对h(x)＝g′(x)再一次求导并解决问题．所以当导数值等于0这个方程求解有困难，考虑用二次求导尝试不失为一种妙法．这种方法适用于研究函数的单调性、确定极（最）值及其相关参数范围、证明不等式等. 【举一反三】

【吉林省通榆县第一中学2019届高三上期中】已知函数（Ⅰ）当

时,求

的单调区间和极值；

恰有两个不等实根,求实数的取值范围；

,

R.

（Ⅱ)若关于的方程

【答案】（1）在

. 【解析】 （Ⅰ）解:当令 + ,得

和上单调递增,在上单调递减，, ； （2）

时,函数,

,当变化时,

,则

的变化情况如下表:

极小值 .

极大值 - ↘ + ↗ ↗ ∴当

在时,

和上单调递增,在

,当

上单调递减. 时,

,即

. . 则

（Ⅱ）依题意

令当

时,

,则

,故

单调递增（如图）, &网

.

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且∴函数

在

；当

处取得最大值

时,,故.

单调递减,且.

故要使与恰有两个不同的交点,只需.

.

∴实数的取值范围是

三．强化训练

1.设函数

满足

，

，则

时，

的最小值为（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

2．【盐城市2019届高三第一学期期中模拟】已知函数间，则实数的取值范围是__________.

，若函数

存在三个单调区

【答案】【解析】

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