专题3.5 频率分布直方图与数字特征 2018年高考数学备考大题狂练Word版含答案

2018届高考数学大题狂练

第三篇 概率与统计专题05 频率分布直方图与数字特征

1．为选拔选手参加“中国诗词大会”，某中学举行一次“诗词大赛”活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计.按照50,60?， 60,70?， 70,80?， 80,90?， 90,100的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在50,60?， 90,100的数据）.

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（1）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；

（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“中国谜语大会”，设随机变量X表示所抽取的2名学生中得分在80,90?内的学生人数，求随机变量X的分布列及数学期望.

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【答案】(1)见解析;(2)见解析.

【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图及题意可得样本容量n与x、y的值；（2）抽取的2名学生中得分在80,90?的人数X可能取值0，1，2，求出相应的概率值，即可得到随机变量X的分布列及数学期望.

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抽取的2名学生中得分在80,90?的人数X可能取值0，1，2，

2112C10C10C30C303529则P?X?0??2?， P?X?1??， ， ?PX?2????22C4052C4013C4052?则X的分布列为

所以EX?0?35293?1??2??． 52135222．某网站从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取10000名进行调查，将受访用户按年龄分成

5组： ?10,20?， ?20,30?，…， ?50,60?，并整理得到如下频率分布直方图：

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取一人，估计其年龄低于40岁的概率； （Ⅲ）估计春节期间参与收发网络红包的手机用户的平均年龄． 【答案】（Ⅰ）a?0.035；（Ⅱ） 0.75；（Ⅲ）32.5.

试题解析：

（Ⅰ） 根据频率分布直方图可知， 10??a?0.005?0.01?0.02?0.03??1， 解得a?0.035.

（Ⅱ）根据题意，样本中年龄低于40的频率为

10??0.01?0.035?0.03??0.75，

所以从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取一人， 估计其年龄低于40岁的概率为0.75.

（Ⅲ）根据题意，春节期间参与收发网络红包的手机用户的平均年龄估计为

15?0.1+25?0.35+35?0.3+45?0.2+55?0.05=32.5（岁）.

3．为了弘扬民族文化，某中学举行了“我爱国学，传诵经典”考试，并从中随机抽取了60名学生的成绩（满分100分）作为样本，其中成绩不低于80分的学生被评为优秀生，得到成绩分布的频率分布直方图如图所示．

（1）若该所中学共有2000名学生，试利用样本估计全校这次考试中优秀生人数；

（2）（i）试估计这次参加考试的学生的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；

（ii）若在样本中，利用分层抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从中抽取3人赠送一套国学经典学籍，试求恰好抽中2名优秀生的概率． 【答案】(1)600；(2)(i)72.5；(ii).

试题解析;（1）由直方图可知，样本中数据落在则估计全校这次考试中优秀生人数为（2）（i）设样本数据的平均数为， 则

则估计所有参加考试的学生的平均成绩为72.5．

．

的频率为，

，

所以恰好抽中2名优秀生的概率为【点睛】

统计中的四个数据特征

．

(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据.

(2)中位数：样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据.如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数.

(3)平均数：样本数据的算术平均数，即＝ (x1＋x2＋…＋xn).

（其中频率分布直方图中，用每组数据中点数表示）

(4)方差与标准差.

s2＝ [(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，

4．2018年中央电视台春节联欢晚会分会场之一落户黔东南州黎平县肇兴侗寨，黔东南州某中学高二社会实践小组就社区群众春晚节目的关注度进行了调查，随机抽取80名群众进行调查，将他们的年龄分成6段：

?20,30?,?30,40?,?40,50?,?50,60?， ?60,70?， ?70,80?，得到如图所示的频率分布直方图.

（Ⅰ）求这80名群众年龄的中位数；

（Ⅱ）将频率视为概率，现用随机抽样方法从该社区群众中每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中年龄在30，40?的人数为?，若每次抽取的结果是相互独立的，求?的分布列，及数学期望E???.

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