2018-2019学年广东省佛山市南海区里水镇七年级(下)期末数学试卷(解析版)

∵AE∥BC，

∴∠CAE＝∠C＝30°，

∴∠AFD＝∠CAE+∠E＝30°+45°＝75°．

【点评】此题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角的性质以及平行线的性质等知识，注意数形结合思想的应用．

22．（7分）如图，已知AD∥BC一点E为CD上一点，AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA，BE交AD的延长线于点F． （1）求证：△ABE≌△AFE； （2）求证：AD+BC＝AB．

【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据两直线平行，内错角相等可得∠2＝∠F，然后求出∠1＝∠F，再利用“角角边”证明△ABE和△AFE全等即可；

（2）根据全等三角形对应边相等可得BE＝FE，然后利用“角边角”证明△BCE和△FDE全等，根据全等三角形对应边相等可得BC＝DF，然后根据AD+BC整理即可得证． 【解答】（1）证明：如图，∵AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∵AD∥BC，

∴∠2＝∠F，∠1＝∠F， 在△ABE和△AFE中，

，

∴△ABE≌△AFE（AAS）；

（2）证明：∵△ABE≌△AFE， ∴BE＝EF，

在△BCE和△FDE中，

，

∴△BCE≌△FDE（ASA）， ∴BC＝DF，

∴AD+BC＝AD+DF＝AF＝AB， 即AD+BC＝AB．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．

五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）

23．（9分）“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，图中的线段OD和折线OABC表示“龟兔赛跑”时路程与时间的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题．

（1）填空：折线OABC表示赛跑过程中 兔子 的路程与时间的关系，线段OD表示赛跑过程中 乌龟 的路程与时间的关系．赛跑的全程是 1500 米． （2）兔子在起初每分钟跑多少米？乌龟每分钟爬多少米？ （3）乌龟用了多少分钟追上了正在睡觉的兔子？

（4）兔子醒来，以48千米/时的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了0.5分钟，请你算算兔子中间停下睡觉用了多少分钟？

【分析】此题要数形结合，根据兔子与乌龟的奔跑路程和时间的图象来求解． 【解答】解：（1）∵乌龟是一直跑的而兔子中间有休息的时刻； ∴折线OABC表示赛跑过程中兔子的路程与时间的关系；

线段OD表示赛跑过程中乌龟的路程与时间的关系； 由图象可知：赛跑的路程为1500米； 故答案为：兔子、乌龟、1500；

（2）结合图象得出：兔子在起初每分钟跑700米． 1500÷30＝50（米） 乌龟每分钟爬50米．

（3）700÷50＝14（分钟）

乌龟用了14分钟追上了正在睡觉的兔子．

（4）∵48千米＝48000米 ∴48000÷60＝800（米/分） （1500﹣700）÷800＝1（分钟） 30+0.5﹣1×2＝28.5（分钟） 兔子中间停下睡觉用了28.5分钟．

【点评】本题主要考查动点问题的函数的图象，结合图形进行求解．

24．（9分）（1）如图1，阴影部分的面积是 a2﹣b2 ．（写成平方差的形式） （2）若将图1中的阴影部分剪下来，拼成如图2的长方形，面积是 （a﹣b）（a+b） ．（写成多项式相乘的积形式）

（3）比较两图的阴影部分的面积，可以得到公式： a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b） ． （4）应用公式计算：（1﹣﹣

）．

）（1﹣

）（1﹣

）（1﹣

）…（1﹣

）（1

【分析】（1）根据面积的和差，可得答案；

（2）根据矩形的面积公式，可得答案； （3）根据图形割补法，面积不变，可得答案； （4）根据平方差公式计算即可．

【解答】解：（1）如图（1）所示，阴影部分的面积是a2﹣b2， 故答案为：a2﹣b2；

（2）根据题意知该长方形的长为a+b、宽为a﹣b， 则其面积为（a+b）（a﹣b）， 故答案为：（a+b）（a﹣b）；

（3）由阴影部分面积相等知a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）， 故答案为：a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）； （4）（1﹣

）（1﹣

）（1﹣

）（1﹣

）…（1﹣

）（1+

）（1﹣）

）

＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣＝××××…×＝×＝

．

×

【点评】本题考查的是平方差公式的推导和运用，灵活运用平方差公式、掌握数形结合思想是解题的关键．

25．（9分）如图1，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，且∠ABC＝∠DBE＝90°，D点在AB上，连接AE与CD的延长线交于点F， （1）直接写出线段AE与CD的数量关系．

（2）若将图1中的△DBE绕点B逆时针旋转一个锐角，如图2所示，问图2中的线段AE、CD之间有怎样的数量和位置关系？

（3）拓展：若将图1中的△DBE绕点B逆时针旋转一个锐角，将“∠ABC＝∠DBE＝90°”改为“∠ABC＝∠DBE＝α（α为锐角）”，其他条件均不变，如图3所示，问：线段AE、CD所在直线的夹角大小是否随着图形的旋转而发生变化？若不变，其值多少？