2016年北京市西城区高三二模理科数学试卷含答案

17．（本小题满分14分）

如图，正方形ABCD的边长为4，E,F分别为BC,DA的中点. 将正方形ABCD沿着线段EF折起，使得?DFA?60. 设G为AF的中点.

（Ⅰ）求证：DG?EF；

（Ⅱ）求直线GA与平面BCF所成角的正弦值；

（Ⅲ）设P,Q分别为线段DG,CF上一点，且PQ//平面ABEF，求线段PQ长度的最小值.

A B

18．（本小题满分13分）

设a?R，函数f(x)?x?a．

(x?a)2?D C C

D C

F E ?F E G A B

（Ⅰ）若函数f(x)在(0,f(0))处的切线与直线y?3x?2平行，求a的值； （Ⅱ）若对于定义域内的任意x1，总存在x2使得f(x2)?f(x1)，求a的取值范围.

19．（本小题满分14分）

x2y2已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个

ab正方形，且其周长为42.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设过点B(0,m)(m?0)的直线l与椭圆C相交于E,F两点，点B关于原点的对称点为D，若点D总在以线段EF为直径的圆内，求m的取值范围.

20．（本小题满分13分）

已知任意的正整数n都可唯一表示为n?a0?2k?a1?2k?1???ak?1?21?ak?20，其中

a0?1，a1,a2,?,ak?{0,1}，k?N．

对于n?N?，数列{bn}满足：当a0,a1,?,ak中有偶数个1时，bn?0；否则bn?1．如数5可以唯一表示为5?1?22?0?21?1?20，则b5?0．

（Ⅰ）写出数列{bn}的前8项；

（Ⅱ）求证：数列{bn}中连续为1的项不超过2项；

（Ⅲ）记数列{bn}的前n项和为Sn，求满足Sn?1026的所有n的值．（结论不要求证明）

北京市西城区2016年高三二模试卷参考答案及评分标准

高三数学（理科） 2016.5

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．B 2．A 3．B 4．C 5．A 6．A 7．D 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

79．160 10．

35x2y2611． 12． ??1

27284413． 6 14．10

5注：第12，13题第一问2分，第二问3分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：因为 ?是第二象限角，且sin?? 所以cos???1?sin2???分

所以tan??分

所以f(?)?(1?3?2)(?分

6， 33. ??????23sin???2， ??????4cos?321?6. ??????6)?33π（Ⅱ）解：函数f(x)的定义域为{x|x?R，且x?kπ?,k?Z}. ??????8

2分

化简，得f(x)?(1?3tanx)cos2x ?(1?sinx3)c2oxs cosx3sixncx os2 ?cosx? ?分

1?cosx23?sinx2 ??????1022π1??????12?sin(2x?)?， 62 分

因为x?R，且x?kπ? 所以2x?π，k?Z， 2π7π?2kπ?， 66π 所以?1≤sin(2x?)≤1.

613 所以函数f(x)的值域为[?,]. ??????13

22分

（注：或许有人会认为“因为x?kπ?

16．（本小题满分13分）

ππ，所以f(x)?0”，其实不然，因为f(?)?0.） 26

（Ⅰ）解：a?0.03. ??????3分 （Ⅱ）解：由分层抽样，知抽取的初中生有60名，高中生有40名. ??????4分 因为初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为(0.02?0.005)?10?0.25， 所以所有的初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生约有0.25?1800?450人， ??????6分 同理，高中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为(0.03?0.005)?10?0.35，学生人数约有0.35?1200?420人.

所以该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有450?420?870人. ??????8分

（Ⅲ）解：初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005?10?0.05，样本人数为

0.05?60?3人.

同理，高中生中，阅读时间不足10个小时的学生样本人数为(0.005?10)?40?2人. 故X的可能取值为1，2，3. ??????9分

22C1C3?C1C33313?C223?P(X?2)??P(X?3)?? 则 P(X?1)? . ，，33C310C5C10555 所以X的分布列为：

X P 1 2 3 3 103 5110 ?????? 12分

所以E(X)?1?分

17．（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：因为正方形ABCD中，E,F分别为BC,DA的中点， 所以EF?FD，EF?FA， 又因为FD?FA?F，

3319?2??3??. ??????13105105