(经典)高考数学直线和圆锥曲线常考题型及方法

题型四：过已知曲线上定点的弦且存在两点关于直线对称问题

在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）

x2y2例题4、已知点A、B、C是椭圆E：2?2?1 (a?b?0)上的三点，其中点A(23,0)是椭圆

ab的右顶点，直线BC过椭圆的中心O，且ACBC?0，BC?2AC，如图。 (I)求点C的坐标及椭圆E的方程；

(II)若椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与直线QC关于直线x?3对称，求直线的斜率。

解：(I) BC?2AC，且BC过椭圆的中心O

?OC?AC

ACBC?0

??ACO??2

又A (23,0)

?点C的坐标为(3,3)。

A(23,0)是椭圆的右顶点，

x2?a?23，则椭圆方程为：y212?b2?1

将点C(3,3)代入方程，得b2?4，

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PQx2y2?1 ?椭圆E的方程为?124(II) 直线PC与直线QC关于直线x?3对称，

?设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为?k，从而直线PC的方程为： y?3?k(x?3)，即 y?kx?3(1?k)，

由???y?kx?3(1?k)?消y，整理得： ?x2?3y2?12?0(1?3k2)x2?63k(1?k)x?9k2?18k?3?0x?3是方程的一个根，

?x3?9k2?18k?3P1?3k2 即9k2x?18k?3P?3(1?3k2) 同理可得：

x9k2?18k?3Q?3(1?3k2) yP?yQ?kxP?3(1?k)?kx?12kQ?3(1?k)＝k(xP?xQ)?23k＝3(1?3k2)9k2?18k?39k2x?18k?3?36kP?xQ?3(1?3k2)?3(1?3k2)＝3(1?3k2) ?kP?yQ1PQ?yxx? P?Q3则直线PQ的斜率为定值13。 题型五：共线向量问题

例题5、设过点D(0,3)的直线交曲线M：x2y29?4?1于P、Q两点，且取值范围。

解：设P(x1,y1),Q(x2,y2),

QDPuuur=lDQuuur

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DPuuur=lDQuuur,求实数l的

\\(x1,y1-3)=l(x2,y2-3)

即ì??xí1=lx2????y1=3+l(y 2-3)方法一：方程组消元法 又QP、Q

是椭圆

x2+y294=1上的点

ì???x22y2\\??í9+24=1????(lx2)2(ly+3-3l)2 ??9+24=1消去x2，

可得(ly+3-3l)2-l2y222=1-24l

即y2=13l-56l 又Q－2￡y2￡2，

\\－2￡13l-56l￡2

解之得：15???5

则实数l的取值范围是??1??5,5??。 方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法设直线PQ的方程为：y?kx?3,k?0， 由??y?kx?3?4x2?9y2?36消y整理后，得 (4?9k2)x2?54kx?45?0

P、Q是曲线M上的两点

???(54k)2?4?45(4?9k2)＝144k2?80?0

即9k2?5 ① 由韦达定理得：

x54k451?x2??4?9k2,x1x2?4?9k2 (x1?x2)2x?x1?x2?2 1x2x2x1

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542k2(1??)2 ??245(4?9k)?36?9k2?44即 ② ??1?5(1??)29k29k2由①得0?151136?9?，代入②，整理得 ， 1??9k255(1??)25解之得???5

当直线PQ的斜率不存在，即x?0时，易知??5或??。

?总之实数l的取值范围是?。 ,5???5?115题型六：面积中的最值问题

1、建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关键是由方程求x、y的范围；

2、数形结合，用化曲为直的转化思想；

3、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值； 4、借助均值不等式求最值。

x2y26例题6、已知椭圆C：2?2?1（a＞b＞0）的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距

ab3离为3。

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为积的最大值。

?c6，??解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意?a3

?a?3，?3，求△AOB面2x2?b?1，?所求椭圆方程为?y2?1。

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