（经典）高考数学直线和圆锥曲线常考题型及方法

高考数学直线和圆锥曲线常考题型及方法

完整归纳与总结 一．相应知识点归纳： 1、中点坐标公式：x?x1?x2y?y2,y?1，其中x,y是点A(x1,y1)，B(x2,y2)的中点坐标。 222、弦长公式：若点A(x1,y1)，B(x2,y2)在直线y?kx?b(k?0)上，

则y1?kx1?b，y2?kx2?b，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，

AB?(x1?x2)2?(y1?y2)2?(x1?x2)2?(kx1?kx2)2?(1?k2)(x1?x2)2?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2] 或者AB?(x1?x2)2?(y1?y2)2?(x1?x2)2?(y1?y2)2?(1??(1?12)[(y?y)?4y1y2]。 122k1k1k1)(y1?y2)2 2k3、两条直线l1:y?k1x?b1,l2:y?k2x?b2垂直：则k1k2??1 两条直线垂直，则直线所在的向量v1v2?0

24、韦达定理：若一元二次方程ax?bx?c?0(a?0有)两个不同的根x1,x2，则

bcx1?x2??,xx1?。 2aa5．中点弦公式

具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为（X1,Y1),(X2,Y2) ，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的情况讨论），消去四个参数。

6．焦点三角形

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椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点7．求曲线的方程问题

构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。

1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。 2．曲线的形状未知-----求轨迹方程 二．经典题型：

题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系问题

直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。

x2y2例题1、已知直线l:y?kx?1与椭圆C:??1始终有交点，求m的取值范围

4mx2y2解：根据直线l:y?kx?1的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆C:??1过动点

4mx2y2?1始终有交点，则m?1，且m?4，（0，?m),且m?4，如果直线l:y?kx?1和椭圆C:?4m即1?m且m?4。

规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点： l:y?kx?1?过定点（01，） l:y?k(x?1)?过定点（?1，0） l:y?2?k(x?1)?过定点（?1，2）题型二：弦的垂直平分线问题

例题2、过点T(-1,0)作直线l与曲线N ：y2?x交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(x0,0)，使得?ABE是等边三角形，若存在，求出x0；若不存在，请说明理由。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。 设直线l:y?k(x?1)，k?0，A(x1,y1)，B(x2,y2)。

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由??y?k(x?1)消y整理，得 ?y2?xk2x2?(2k2?1)x?k2?0 ①

由直线和抛物线交于两点，得

??(2k2?1)2?4k4??4k2?1?0

即0?k2?14 ②

由韦达定理，得：x2k2?11?x2??k2,x1x2?1。

则线段AB的中点为(?2k2?12k2,12k)。 线段的垂直平分线方程为：

y?12k??1k(x?1?2k22k2) 令y=0,得x0?12k2?12，则E(112k2?2,0) ?ABE为正三角形，

?E(12k2?12,0)到直线AB的距离d为32AB。 AB?(x2?y21?4k21?x2)?(y12)?k21?k2d?1?k22k 31?4k22?1?k2?1?k2k22k

解得k??3913满足②式 此时x50?3。

题型三：动弦过定点的问题

例题3、已知椭圆C：x2y23a2?b2?1(a?b?0)的离心率为2，且在A1(-2,0),A2(2,0)。 （I）求椭圆的方程；

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x轴上的顶点分别为

（II）若直线l:x?t(t?2)与x轴交于点T,点P为直线l上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论 解：（I）由已知椭圆C的离心率e??x2从而椭圆的方程为?y2?1

4ca3，a?2,则得c?3,b?1。 2（II）设M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线A1M的斜率为k1,则直线A1M的方程为y?k1(x?2)，由

?y?k1(x?2)222消y整理得(1?4k)x?16kx?16k?4?0 ?21212?x?4y?4?2和x1是方程的两个根， 16k12?4 ??2x1?21?4k14k12?8k12则x1?，， y?1221?4k11?4k12?8k124k1即点M的坐标为(,)，

1?4k121?4k1228k2?2?4k2同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为(,) 221?4k21?4k2yp?k1(t?2),yp?k2(t?2)

?k1?k22??， k1?k2t直线MN的方程为：

?令y=0，得x?y?y1y2?y1， ?x?x1x2?x14x2y1?x1y2，将点M、N的坐标代入，化简后得：x?

ty1?y2又t?2，?0??2 椭圆的焦点为(3,0)

443??3，即t? t34t故当t?

43时，MN过椭圆的焦点。 34