定积分的计算方法

2 常用计算方法

2.1定义法

定积分的定义法计算是运用极限的思想,简单的来说就是分割求和取极限。以

I??f(x)dx为例：任意分割,任意选取?k作积分和再取极限。任意分割任意取?k所计算

ab出的I值如果全部相同的话，则定积分存在。如果在某种分法或者某种?k的取法下极限值不存在或者与其他的分法或者?k的取法下计算出来的值不相同，那么则说定积分不存在。如果在不知道定积分是否存在的情况下用定义法计算定积分是相当困难的，涉及到怎样才是任意分割任意取?k。但是如果根据上述三类可积函数判断出被积函数可积，那么就可以根据积分和的极限唯一性可作?a,b?的特殊分法，选取特殊的?k，计算出定积分。

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第一步：分割.

将区间?a,b?分成n个小区间，一般情况下采取等分的形式。h?b?a，那么分割点的n坐标为?a,0?，?a?h,0?，?a?2h,0?......?a?(n?1)h,0?，?b,0?，?k在?xk?1,xk?任意选取，但是我们在做题过程中会选取特殊的?k，即左端点，右端点或者中点。经过分割将曲边梯形分成n个小曲边梯形。我们近似的看作是n个小长方形。

第二步：求和.

计算n个小长方形的面积之和，也就是第三步：取极限.

?f???h。

kk?1nI?lim?f??k?h?hlim?f??k?，h?0即n??，也就是说分的越细，

h?0k?1h?0k?1nn那么小曲边梯形就越接近小长方形，当n趋于无穷之时，小曲边梯形也就是小长方形，那么小长方形的面积和即为曲边梯形的面积，也就是定积分的积分值。 例1、用定义法求定积分

?10xdx。

解：因为f(x)?x在?0,1?连续

所以f(x)?x在?0,1?可积 令h?1?01? nn将?0,1?等分成n个小区间，分点的坐标依次为0?h?2h?...?nh?1 取?k是小区间?(k?1)h,kh?的右端点，即?k?kh于是

11n(n?1)?1?n(n?1)n?1 xdx?limkhh?lim?lim?lim???0n??n??n??2?n?n??2n22221?所以，

?10xdx?1 22.2牛顿-莱布尼茨公式

牛顿-莱布尼茨公式很好的把定积分与不定积分联系在一起。利用此公式，可以根据不定积分的计算计算出定积分。这个公式要求函数f(x)在区间?a,b?内必须连续。求连续函数f(x)的定积分只需求出f(x)的一个原函数，再按照公式计算即可。

定理：若函数f(x)在区间?a,b?连续，且F(x)是f(x)的原函数，则

?baf(x)dx?F(b)?F(a)。

证明：因为F(x)是f(x)的原函数，即?x??a,b?有F'(x)?f(x) 积分上限函数

?xaf(t)dt也是f(x)的原函数

' 所以

??xaf(t)dt?f(x)

? 所以

?xaf(t)dt?F(x)?C

令x?a有

?aaf(t)dt?F(a)?C即C??F(a)

再令x?b有

?baf(x)dx?F(b)?F(a)

我们知道，不定积分与定积分是互不相关的，独立的。但是在连续的条件下，微积分基本定理把这两个互不相关的概念联系起来，这不仅给定积分的计算带来极大的方便，在理论

上把微分学与积分学沟通起来，这是数学分析的卓越成果，有着重大的意义。

例1、用牛顿莱布尼茨公式计算定积分

?10xdx。

11解： 原式=x2?

202同样的一道题目，用牛顿-莱布尼茨公式明显比定义法简单，容易计算。

12.3定积分的分部积分法

公式：函数u(x)，v(x)在?a,b?有连续导数则

?bau(x)dv(x)?u(x)v(x)a??v(x)du(x)

abb证明：因为u(x)，v(x)在?a,b?有连续导函数

'' 所以?u(x)v(x)??u(x)v(x)?v(x)u(x)

' 所以 即 或

''?u(x)v(x)?u(x)v(x)?u(x)v(x)?v(x)u(x)????a?a?a?dx?u(x)v(x)a

b'bbb??2babu(x)v(x)dx?u(x)v(x)a??v(x)u'(x)dx

a'bbau(x)dv(x)?u(x)v(x)a??v(x)du(x)

a21bb例1、求定积分

?lnxdx。

2221解：

?1lnxdx?xlnx1??xdlnx?2ln2?0?x1?2ln2?1

2.4定积分的换元积分法

应用牛顿-莱布尼茨公式求定积分，首先求被积函数的原函数，其次再按公式计算。一般情况下，把这两步截然分开是比较麻烦的，通常在应用换元积分法求原函数的过程中也相应交换积分的上下限，这样可以简化计算。

公式：若函数f(x)在区间?a,b?连续，且函数x??(t)在??,??有连续导数，当

??t??时，有a??(t)?b则：

?baf(x)dx??f??(t)??(t)dt??f??(t)?d?(t)

'???? 证明：

?baf(x)dx?F(x)a?F(b)?F(a)

b??

即

?f??(t)??'(t)dt?F??(t)???F??(?)??F??(?)??F(b)?F(a)??baf(x)dx??f??(t)??'(t)dt

??这个公式有两种用法： （1）、若计算

?baf(x)dx

a??(t)分别解出积分限?与?；1、选取合适的变换x??(t)，由a,b通过b??(t)， ○

2、把x??(t)代入○3、计算. ○

?baf(x)dx得到?f??(t)??'(t)dt；

??例1、 计算定积分?a0a2?x2dx。

解：设x?asint有dx?acostdt x?0时，t?0；x?a时，t?a? 22?

（2）、计算

?0a?xdx?a222?20asin2t2?2costdt?(t?)?a

22042????g(t)dt，其中g(t)?f??(t)??'(t)

'1、把g(t)凑成f??(t)??(t)的形式； ○

2、检查x??(t)是否连续； ○

3、根据?与?通过x??(t)求出左边的积分限a,b； ○4、计算. ○

例2、 计算定积分?1?11dt。 5?4t