(完整版)2019年高考全国2卷理科数学及答案

19．解：（1）由题设得4(an?1?bn?1)?2(an?bn)，即an?1?bn?1?1(an?bn)． 2又因为a1＋b1＝l，所以?an?bn?是首项为1，公比为由题设得4(an?1?bn?1)?4(an?bn)?8， 即an?1?bn?1?an?bn?2．

1的等比数列． 2又因为a1–b1＝l，所以?an?bn?是首项为1，公差为2的等差数列． （2）由（1）知，an?bn?1，an?bn?2n?1． n?12所以an?111[(an?bn)?(an?bn)]?n?n?， 222111bn?[(an?bn)?(an?bn)]?n?n?．

22220．解：（1）f（x）的定义域为（0，1），（1，＋∞）单调递增．

e?1e2?1e2?32?0，f(e)?2?2因为f（e）＝1???0， e?1e?1e2?1所以f（x）在（1，＋∞）有唯一零点x1，即f（x1）＝0． 又0?x?111??f(x1)?0， ?1，f()??lnx1?1x1x1?1x11． x1故f（x）在（0，1）有唯一零点

综上，f（x）有且仅有两个零点．

11?lnx0?e（2）因为，故点B（–lnx0，）在曲线y＝ex上． x0x0由题设知f(x0)?0，即lnx0?x0?1， x0?111x0?1?lnx0?x0xx0?11?0?． 故直线AB的斜率k??lnx0?x0?x0?1?xx00x0?1理科数学试题 第 5 页（共 7 页）

曲线y＝e在点B(?lnx0,x

11)处切线的斜率是，曲线y?lnx在点A(x0,lnx0)处切线的斜x0x01率也是，

x0所以曲线y?lnx在点A(x0,lnx0)处的切线也是曲线y＝ex的切线．

x2y2yy1?1(|x|?2)，所以C为中心在坐标原21．解：（1）由题设得???，化简得?x?2x?2242点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．

（2）（i）设直线PQ的斜率为k，则其方程为y?kx(k?0)．

?y?kx由???x2y22?4?2?1得x??1?2k2．

记u?21?2k2，则P(u,uk),Q(?u,?uk),E(u,0)．

于是直线QG的斜率为

k2，方程为y?k2(x?u)． ?y?k(x?u由???2),?x22得 ??4?y2?1(2?k2)x2?2uk2x?k2u2?8?0．①

设G(xu(3k2?2)uk3G,yG)，则?u和xG是方程①的解，故xG?2?k2，由此得yG?2?k2．uk3从而直线PG的斜率为2?k2?uku(3k2?2)??1． 2?k2?uk所以PQ?PG，即△PQG是直角三角形．

|2ukk2?1（ii）由（i）得|PQ|?2u1?k2PG|?，2?k2，

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18(?k)18k(1?k)k‖PG|??所以△PQG的面积S?|PQ． 222(1?2k)(2?k)1?2(1?k)2k2设t＝k＋

1，则由k>0得t≥2，当且仅当k＝1时取等号． k因为S?8t16[2∞t2k1S 在，＋）单调递减，所以当＝，即＝时，取得最大值，最大值为．

1?2t2916． 9??时，?0?4sin?23． 33因此，△PQG面积的最大值为

22．解：（1）因为M??0,?0?在C上，当?0?由已知得|OP|?|OA|cos??2． 3??????|OP|?2， 3?设Q(?,?)为l上除P的任意一点．在Rt△OPQ中?cos???经检验，点P(2,)在曲线?cos????3??????2上． 3?所以，l的极坐标方程为?cos?????????2． 3?（2）设P(?,?)，在Rt△OAP中，|OP|?|OA|cos??4cos?, 即 ??4cos?．． 因为P在线段OM上，且AP?OM，故?的取值范围是?,?．

42所以，P点轨迹的极坐标方程为??4cos?,???,? ．

4223．解：（1）当a＝1时，f(x)=|x?1| x+|x?2|(x?1)．

当x?1时，f(x)??2(x?1)?0；当x?1时，f(x)?0． 所以，不等式f(x)?0的解集为(??,1)． （2）因为f(a)=0，所以a?1．

当a?1，x?(??,1)时，f(x)=(a?x) x+(2?x)(x?a)=2(a?x)(x?1)<0 所以，a的取值范围是[1,??)．

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