7、方程类经济数学模型 - 图文

2015年6月27日星期六

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解法Ⅰ(常数变易法) 非齐次方程y'+P(x)y=Q(x)的解法：?求出对应齐次线性方程y'+P(x)y=0的通解；

?直接把通解里的常数C换成未知函数C(x)，把对应的y代入原方程，

?解出C(x)后得到原方程的通解。

例求微分方程y'-2y=ex的通解。

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定理一阶非齐次线性方程y'+P(x)y=Q(x)的通解为y=[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C]e-∫P(x)dx

其中的不定积分只需写出一个原函数即可。

解法Ⅱ(公式法) 非齐次方程y'+P(x)y=Q(x)的解法：

?把方程化为标准形式：y'+P(x)y=Q(x)，写出P(x)、Q(x)；?代入公式并计算化简。

例求微分方程(x+1)y'-ny=(x+1)n+1ex的通解。练习求微分方程xy'+y=sin x的通解。例求微分方程ydx+(x-2ln y)dy=0的通解。

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五、Bernoulli方程

定义方程y'+P(x)y=Q(x)yn称为Bernoulli方程。

?解法：作变量代换z=y1-n，则方程y'+P(x)=Q(x)yn化为一阶线性非齐次方程

z'+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x)

dyy2例求微分方程dx?x?ylnx的通解。dyy24练习求微分方程dx?x?xy的通解。Jacob Bernoulli2015年6月27日星期六

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§7.4 二阶常系数线性微分方程

二阶常系数线性微分方程的一般形式：y''+ay'+by=f(x)

其中a、b为已知常数，f(t)为已知函数。

?当f(x)≠0时，称y''+ay'+by=f(x)为非齐次常系数线性微分方程。

?当f(x)=0时，称y''+ay'+by=0为齐次常系数线性微分方程。对于相同的a、b，称y''+ay'+by=0为y''+ay'+by=f(x)对应的二阶常系数齐次线性微分方程。