3.5 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第五节

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝________________________； cos(α?β)＝________________________； tan α±tan βtan(α±β)＝．

1?tan αtan β

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝________________；

cos 2α＝________________＝________________＝________________； 2tan α

tan 2α＝．

1－tan2α3．公式的常用变形

(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)； 1＋cos 2α1－cos 2α(2)cos2α＝，sin2α＝；

22(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， π

α±?． sin α±cos α＝2sin??4?

[小题体验]

ππ1π

＋α?＝，－<α<0，则cos?α－?的值是( ) 1．已知sin??2?2?3?2121

A． B． C．－ D．1

2322．化简cos 18°cos 42°－cos 72°·sin 42°的值为________．

3

3．(教材习题改编)已知sin(α－π)＝，则cos 2α＝________．

5

1

1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．

2．在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围．

[小题纠偏]

π2

α＋?＝________． 1．已知sin 2α＝，则cos2??4?3

2．若锐角α，β满足tan α＋tan β＝3－3tan αtan β，则α＋β＝________．

考点一 三角函数公式的基本应用基础送分型考点——自主练透

[题组练透]

π3

＋α?为( ) 1．已知cos α＝－，α是第三象限角，则cos??4?5A．

2

10

B．－2 10

72C．

1072D．－

10

1

2．(2017·河南八市重点高中质检)已知函数f(x)＝sin x－cos x，且f′(x)＝f(x)，则tan 2x的值是( )

22A．－

34C．

3

4B．－ 33D．

4

π?5π5，π，sin α＝，则cos?－2α?的值为______． 3．已知α∈??2??6?5

[谨记通法]

三角函数公式的应用策略

(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．

(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．如“题组练透”第3题易忽视α范围． 考点二 三角函数公式的逆用与变形应用重点保分型考点——师生共研

[典例引领]

2

π2cosθ－1140，?，且sin θ－cos θ＝－1．(2017·河北名师俱乐部模拟)已知θ∈?，则＝( ) ?4?4π??cos?4＋θ?2433

A． B． C． D．

3342sin 110°sin 20°2．计算2的值为( )

cos155°－sin2155°113

A．－ B． C．

222

D．－3

2

[由题悟法]

1．三角函数公式活用技巧

(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．

(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．

2．三角函数公式逆用和变形用应注意的问题

(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．

13

(2)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变

22角”构造适合公式的形式．

[即时应用]

1．在△ABC中，若tan Atan B＝ tan A＋tan B＋1, 则cos C的值为( ) A．－1

C．

2

2 2

B．

2 2

2

1D．－ 2

π43?α＋7π?的值是( ) α－?＋sin α＝2．(2016·河南六市一联)已知cos?，则sin6??6??523

A．－

5

2344B． C． D．－

555

考点三 角的变换重点保分型考点——师生共研

[典例引领]

31

已知α，β均为锐角，且sin α＝，tan(α－β)＝－．

53(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值．

3

[由题悟法]

利用角的变换求三角函数值的策略

(1)当“已知角”有两个时：一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；

(2)当“已知角”有一个时：此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．

[即时应用]

π1π

α－?＝，则tan?β＋?的值为( ) 1．已知tan(α＋β)＝1，tan??3?3?3?21

A． B．

323C．

4

4D．

5

ππ1

－α?＝，则cos?＋2α?＝( ) 2．(2016·福建师大附中检测)若sin??3?4?3?7

A．－

81C．

4

1B．－ 47D．

8

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．(2017·西安质检)sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( ) A．1 C．

3 2

1B．

21D．－ 2

π

θ＋?＝3sin(π－θ)，则tan θ等于( ) 2．(2016·河北三市第二次联考)若2sin??3?A．－

3

3

B．

3 2

4