五年级奥数专题：图形的计数

九 图形的计数(A)

年级 班 姓名 得分 一、填空题

1．下图中一共有（ ）条线段.

A12 OA11，2. 如右上图,O为三角形A1A6A12的边A1A12上的一点,分别连结OA2,OA3,…这样图中共有_____个三角形. A11 3. 下图中有_____个三角形. A10 A O 4. 右上图中共有_____个梯形. A9 5. 数一数 D A8 (1)一共有( )个长方形. (2)一共有( )个三角形. A7 D C A1 B A2 C A3 A4 A5 A6

B (1) (2) 6. 在下图中,所有正方形的个数是______.

A 7. 在一块画有4?4方格网木板上钉上了25颗铁钉(如下图),如果用线绳围正方形,最多可以围出_____个.

? ? ? ? A P O N M

B C Q X W R L K J

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Y V D S T U E F G H I

8. 一块相邻的横竖两排距离都相等的钉板,上面有4?4个钉(如右图).以每个钉为

顶点,你能用皮筋套出正方形和长方形共_____个.

9. 如下图,方格纸上放了20枚棋子,以棋子为顶点的正方形共有_____个.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 10. 数一数,下图是由_____个小立方体堆成的.要注意那些看不见的.

二、解答题

11. 右图中共有7层小三角形，求白色小三角形的个数与黑色小三角形的个数之比.

O

1 12. 下图中,AB、CD、EF、MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少？ 2 1厘米的红色、白色两种正方形分别组成边长为A B2 厘米、413．现在都是由边长为3 厘米、8厘米、9厘米的大小不同的正方形、它们的特点都是正方形的四边的小正方形都C D 4 是涂有红颜色的小正方形，除此以外，都是涂有白色的小正方形，要组成这样4个大小5 不同的正方形，总共需要红色正方形多少个？白色正方形多少个？E F 6 14．将 7 ABC的每一边4等分，过各分点作边的平行线，在所得下图中有多少个平行四边形？ M N 九 图形的计数（B）

年级 班 姓名 得分 一、填空题

1. 下图中长方形（包括正方形）总个数是_____.

2. 右上图中有正方形_____个,三角形_____个,平行四边形_____个,梯形_____个. 3. 下图中共出现了_____个长方形.

4. 先把正方形平均分成8个三角形.再数一数,它一共有_____个大小不同的三角形. 5. 图形中有_____个三角形. 6．如右上图,一个三角形分成36个小三角形.把每个小三角形涂上红色或蓝色,两个有公共边的小三角形要涂上不同的颜色,已知涂成红色的三角形比涂成蓝色的三角形多,那么多_____个.

7. 下图是由小立方体码放起来的,其中有一些小方体看不见.图中共有_____个小立方体.

8. 右上图中共有_____个正方形.

9. 有九张同样大小的圆形纸片,其中标有数码“1”的有1张；标有数码“2”的有2张；标有数码“3”的有3张，标有数码“4”的也有3张。把这九张圆形纸片如下图所示放置在一起，但标有相同数码的纸片不许靠在一起，问：

如果M位上放置标有数码“3”的纸片，一共有_____种不同的放置方法.

10. 如下图,在2×2方格中,画一条直线最多可穿过3个方格,在3×3方格中,画一条直线最多可穿过5个方格.那么10×10方格中,画一条直线最多可穿过_____个方格.

M 二、解答题 11. 把一条长15cm的线段截为三段，使每条线段的长度是整数，用这三条线段可以组成多少个不同的三角形？（当且仅当两三角形的三条边可以对应相等时，我们称这两个三角形是相同的.）

12. 有一批长度分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10和11厘米的细木条,它们的数量都足够多,从中适当选取3根木条作为三条边.可围成一个三角形,如果规定底边是11厘米长,你能围成多少个不同的三角形?

13. 下图中的正方形被分成9个相同的小正方形,它们一共有16个顶点(共同的顶点算一个),以其中不在一条直线上的3个点为顶点,可以构成三角形.在这些三角形中,与阴影三角形有同样大小面积的有多少个?

14. 有同样大小的立方体27个,把它们竖3个,横3个,高3个,紧密地没有缝隙地搭成一个大的立方体(见图).如果用1根很直的细铁丝扎进这个大立方体的话,最多可以穿透几个小立方体?

———————————————答 案

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1． 30

由例1注可知图形中每边有3+2+1=6（条）线段，因此整个图形中共有6?5=30条线段.

2. 37

将 A1A6A12分解成以OA6为公共边的两个三角形. OA1A6中共有5+4+3+2+1=15(个)三角形, OA6A12中共有6+5+4+3+2 +1=21(个)三角形,这样,图中共有15+21+1=37(个)三角形. 3. 15

这样的问题应该通过分类计数求解.此题中的三角形可先分成含顶点C的和不含顶点C的两大类.含顶点C的又可分成另外两顶点在线段AB上的和在线段BD上的两小类.分类图解如下:

A A A 所以原图有 D (3+2+1)+(3+2+1)+3 =15(个)三角形. D B D 4. 18 C 3+2+1=6(个),所以一共有6?3=18(个)梯形. 梯形一共有三行,每行都有B B B C C 5. 108,36

(1)因为长方形是由长和宽组成的,因此可分别考虑所有长方形的长和宽的可能种数.按照前面所介绍的线段的计数方法可分别求出长和宽的线段条数,将它们相乘就是所有长方形的个数.

9?8因为AB边上有8+7+6+…+2+1==36条线段，AD边上有2+1=3条线段，所以图中

2一共有36?3=108个长方形.

(2)三角形一共有6行,每行都有3+2+1=6(个),所以一共有6?6=36(个)三角形. 6. 30

由例5注可知整个图形中共有12+22+32+42=30个正方形. 7. 50

此类问题一般用分类方法计数.对正方形的边长分八类计数如下: 边长为AB的正方形有16个； 边长为AC的正方形有9个； 边长为AD的正方形有4个； 边长为AE的正方形有1个； 边长为DF的正方形有9个； 边长为CF的正方形有8个； 边长为BF的正方形有2个； 边长为CG的正方形有1个. 所以,最多可围出50个正方形. 8. 44

因为正方形是特殊的长方形,所以可以把正方形看成长方形,这样就不必分别求正方