高中数学 第二章 平面向量单元质量评估 新人教版必修4

【世纪金榜】2016高中数学 第二章 平面向量单元质量评估 新人教版必修4

(120分钟 150分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求) 1.(2016·广州高一检测)如果a,b是两个单位向量,那么下列四个结论中正确的是 ( ) A.a=b B.a·b=1 C.a=-b D.|a|=|b|

【解析】选D.两个单位向量的方向不一定相同或相反,所以选项A、C不正确;由于两个单位向量的夹角不确定,则a·b=1不成立,所以选项B不正确;|a|=|b|=1,则选项D正确. 2.如图,a-b等于 ( )

A.2e1-4e2 B.-4e1-2e2 C.e1-3e2 D.3e1-e2

【解析】选C.a-b=e1-3e2. 3.下列命题中正确的是 ( ) A.C.0·

-=

B.

+=+

+; =0

=

=0 D.

-

【解析】选D.A错误.B错误.C.错误.0·

+

=0; =0;

D正确.由三角形法则可知.

4.如果向量a=(k,1)与b=(4,k)共线且方向相反,则k= ( ) A.±2 B.-2 C.2 D.0

- 1 -

【解析】选B.由a∥b得k2

=4,解得k=±2,当k=2时,b=2a,当k=-2时,b=-2a. 【补偿训练】已知平面向量a=,b=(1,1)且a∥b,则锐角α的值

为 ( )

A. B. C. D. 【解析】选A.因为a=

,b=(1,1)且a∥b,

所以1×sinα-1×=0,解得sinα=.

又因为α为锐角,所以α=.

5.(2016·烟台高一检测)已知向量a=(1,-1),2a+b=(4,2),则向量a,b的夹角的余弦值为A.

B.- C.

D.-

【解析】选B.b=(4,2)-2a=(4,2)-(2,-2)=(2,4), a·b=-2,|a|=

,|b|=2

,

设a,b的夹角为θ,则cosθ= =-.

6.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c等于 ( ) A.-a+b

B.a-b

C.a-b D.-a+b

【解析】选B.令c=λa+μb,则

所以所以c=a-b.

7.若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),满足条件(8a-b)·c=30,则x等于 ( ) A.6 B.5 C.4

D.3

【解析】选C.因为a=(1,1),b=(2,5), 所以8a-b=(8,8)-(2,5)=(6,3). 又因为(8a-b)·c=30,

所以(6,3)·(3,x)=18+3x=30.所以x=4.

) - 2 -

( 8.向量=(4,-3),向量=(2,-4),则△ABC的形状为 ( )

A.等腰非直角三角形 B.等边三角形 C.直角非等腰三角形 D.等腰直角三角形 【解析】选C.因为所以所以

=·

-=(4,-3),=(-2,-1), =(2,1)·(-2,4)=0,

|=

,|

|=2

,|

|≠|

|.

=(2,-4),

所以∠C=90°,且|

所以△ABC是直角非等腰三角形. 【补偿训练】在△ABC中,

=a,

=b,

=c,且a·b=b·c=a·c,则△ABC的形状为 ( )

A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形

D.以上均不正确

【解析】选C.因为a·b=b·c,所以b·(a-c)=0, 即则

·(-=2-)=0,设点D是边AC的中点, ,所以

·

=0,所以BC=BA,

同理AC=AB,所以△ABC为等边三角形.

9.如图,△ABC的外接圆的圆心为O,AB=2,AC=3,则

·

等于 ( )

A. B. C.2 D.3 【解题指南】根据【解析】选B.

·

=

··(

-==

)=-,然后分别计算=2,·

·-=·

·

和=,则=-2=.

|=6,|

|=4.若点M,N满足

- 3 -

·.

10.(2015·四川高考)设四边形ABCD为平行四边形,|

=3A.20

,=2,则·=( )

B.15 C.9 D.6

,,又

为基向量.因为=2

,所以

=3=

,所以+

=

=-+

= ,于是

【解析】选C.选择

+

=

+

·=·=(4+3)·(4-3)

=(16||-9|

2

|)=9.

2

11.(2016·杭州高一检测)已知a=(1,2),b=(2,-3),若向量c满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则c= ( ) A.C.

B. D.

【解析】选D.不妨设c=(m,n),则a+c=(1+m,2+n),a+b=(3,-1),对于(c+a)∥b,则有-3(1+m)=2(2+n),又c⊥(a+b),则有3m-n=0,联立解得m=-,n=-.故c=12.已知点G是△ABC的重心,120°,A.

·

=-2,则|

=λ

+μ

.

(λ,μ∈R),若∠A=

|的最小值是 ( )

D.

=·

=|

=(||

+

),

B. C.

【解析】选C.由向量加法的三角形法则及三角形重心的性质可得,因为∠A=120°,设|所以|

|=x,|||

·|=y, |=4,即xy=4.

=-2,根据向量的数量积的定义可得,

|cos120°=-2,

||=|+|==

=

因为x+y≥2xy=8(当且仅当x=y时取等号) 所以|

2

2

,

|≥,即||的最小值为.

- 4 -