高中数学选修2-1学案：2.1.1 曲线与方程

高中数学选修2-1学案

(2)已知直线l：y＝x＋b与曲线C：y＝1－x2有两个公共点，求b的取值范围.

??y＝x＋b，

解 由方程组???y＝1－x2，

得???y＝x＋b，

??x2＋y2＝1?y≥0?.

消去x，得到2y2－2by＋b2－1＝0(y≥0).

l与C有两个公共点，等价于此方程有两个不等的非负实数解，

?Δ＝4b2－8?b2－1?>0，

可得?

y1

＋y2＝b>0，?2

y1y2

＝b－12

≥0，

解得1≤b<2. 所以b的取值范围为[1，2).

1.“点M在曲线y2＝4x上”是“点M的坐标满足方程y＝－2x”的(A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分又不必要条件 [答案] B

[解析] ∵y＝－2x≤0，而y2＝4x中y可正可负，

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∴点M在曲线y2＝4x上时，点M不一定在y＝－2x上. 反之，点M在y＝－2x上时，点M一定在y2＝4x上. 2.方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是( ) A.两个点 B.四个点 C.两条直线 D.四条直线

[答案] B

解析??x2－4＝0，??x＝±

2，[] 由已知得?＝0， ∴??y2

－4???y＝±

2

即???x＝2，??x＝2，??x＝－2，??x? 或?y＝2?? 或?y＝－2? ＝－2，

?或?y＝2??

选B. ?y＝－2.

3.下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是( )

[答案] D

[解析] 对于A，点(0，－1)满足方程，但不在曲线上，排除A； 对于B，点(1，－1)满足方程，但不在曲线上，排除B；

对于C，曲线上第三象限的点，由于x<0，y<0，不满足方程，排除C. 4.已知0≤α<2π，点P(cos α，sin α)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，则α的值为(A.π3 B.5π3 C.π5π3或3 D.ππ3或6

[答案] C

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1

[解析] 由(cos α－2)2＋sin2α＝3，得cos α＝.

2π5π

又0≤α<2π，∴α＝或α＝.

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5.过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l1与l2分别与x轴，y轴交于A，B两点，则AB中点M的轨迹方程为______________. [答案] x＋y－1＝0 [解析] 设M(x，y)，如图，

由直角三角形的性质可知 |PM|＝|MO|，

即(x－1)2＋(y－1)2＝x2＋y2， ∴x＋y－1＝0.

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1.曲线的方程和方程的曲线必须满足两个条件：曲线上点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上.

2.点(x0，y0)在曲线C上的充要条件是点(x0，y0)适合曲线C的方程. 3.方程表示的曲线的判断步骤：

4.判断方程表示曲线的注意事项：

(1)方程变形前后要等价，否则变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线. (2)当方程中含有绝对值时，常采用分类讨论的思想.

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