整数的性质及应用（三）质数和合数

整数的性质及应用（三） 质数和合数

一、质数和合数的有关性质和定理

1.1不是质数，也不是合数；2是唯一的偶质数。2.若质数p|ab, 则必有p|a或p|b。 3.若正整数a, b 的积是质数p, 则必有a=p或b=p。

4.定理1.设a是一个大于1的正整数，则a的大于1的最小正因数p一定是质数。 5.定理2.若p是质数，则对任一整数a, 或者p|a, 或者（p, a）=1 6.定理3.质数有无穷多个。 7. 形如4n-1(n为正整数)的质数有无穷多个。

8.算术基本定理：任意一个大于1的整数N能分解成K个质因数的乘积，若不考虑质因数之间的顺序，则这种分解是唯一的，可以写成标准分解形式: 二、例题：

1.已知三个不同的质数a ,b,c满足abc?a?2000, 求a+b+c的值。 2.若n是大于2的正整数，求证：2?1与2?1中至多有一个是质数。

3.用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为xcm规格的地砖，恰用n块；若选用边长为ycm规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块，已知x、y、n都是正整数，且（x, y）=1. 试问这块地有多少平方米？

4.设a,b,c,d都是自然数，且a?b?c?d，证明a?b?c?d一定是合数。 5.若n为自然数，n+3与n+7都是质数，求n除以3所得的余数。 6.设自然数n1?n2，且有n1?n2?79，试求n1与n2的值。 7.n是不小于40的偶数，试证明：n总可以表示成两个奇合数的和。

8.若a,b,c是1998的三个不同的质因数，且a?b?c，则(b?c)的值是多少？ 9.四个质数的倒数之和是

a22bnn22221454，则这四个质数之和是多少？ 199510.有四个数，一个是最小的奇质数，一个是偶质数，一个是小于30的最大质数，另一个是大于70的最小质数，求它们的和。

11.p是质数，p?3仍是质数，求p?3的值。

4512.已知质数p和q满足3p?5q?31，求三、练习题：

p

的值。 3q?1

1.有三个正整数，一个是最小的奇质数，一个是最小的奇合数，另一个既不是质数，也不是合数，求三个数的积。

2.有三个数，一个是偶质数，一个是大于50的最小质数，一个是100以内最大的质数，求这三个数的和。

3.设m与n是两个大于2的质数，证明m+n是一个合数。

4.若p是一个质数，p?3仍为质数，求证：p?3也是一个质数。 5.设P>5，证明：若P和2P+1均为质数，则4P+1为合数。 6.若P与P+3都是质数，求P除以3所得的余数。（P>3）

7.若自然数n1?n2，且n1?n2?2n1?2n2?19，求n1,n2的值。 8.有四个不同质因数的最小自然数是多少？ 9.求200的正约数个数，并求它的所有质因数的和。 10.若n?45452223?5454，则n是质数还是合数？

11.若质数m, n满足5m+7n=129, 求m+n的值。

12.一个两位质数，将它的十位数字与个位数字对调后仍是一个质数，我们称它为“无暇质数”，则所有“无暇质数”之和是多少？

13.机器人对自然数从1开始由小到大按如下的规则进行染色：凡能表示为两个合数之和的自然数都染成红色，不合上述要求的自然数都染成黄色，若被染成红色的数由小到大数下去，求第1992个数是多少？

14.证明有无穷多个n，使多项式n?n?41（1）表示合数 （2）为43的倍数。 15.已知正整数p ,q都是质数，且7p+q与pq+11也都是质数，试求p?q的值。 16. 1与0交替排列，组成下面形式的一串数：101，10101，1010101，101010101，…请你回答：在这串数中有多少个质数？并证明你的结论。

qp217.41名运动员所穿运动衣号码是1，2，…，40，41这41个自然数，问：

（1）能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？ （2）能否使这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？ 若能办到，请举一例；若不能办到，请说明理由。