实验五快速Fourier变换FFT及的应用

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实验五 快速Fourier变换(FFT)及应用

一、 实验目的

1. 验证频域采样定理。

2. 在理论学习的基础上，通过本实验，加深对FFT的理解，熟悉MATLAB中的有关函数。 3. 应用FFT对典型信号进行频谱分析。

4. 了解应用FFT进行信号频谱分析过程中可能出现的问题，以便在实际中能够正确应用

FFT。

5. 应用FFT实现序列的线性卷积。

二、 实验内容

1. 验证频域采样定理。

利用MATLAB产生一个长度为N的三角波序列x(n)，并完成以下要求： (1) 计算N=30时的64点DFT，并图示x(n)和X(k); (2) 对X(k)在[0,2

上进行

点抽样，得到X1(k)?X(2k),k?0,1,?,31；

(3) 求出X1(k)的32点IDFT，即得到x1(n)?IDFT[X1(k)]；

(4) 绘制出x1((n))32的波形，观察x1((n))32和x(n)的关系，并加以说明。 解：MATLAB程序清单如下： M=64; % 指定DFT点数 N=30; % 指定序列长度 n=0:N-1;

xn=2*[0:N/2,N/2-1:-1:1]/N; % 产生幅度为1的N点三角波序列

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Xk=fft(xn,M); % 计算Xk＝DFT[x(n)]; Xk1=Xk(1:2:M); % 对Xk隔点抽取得到Xk1 xn1=ifft(Xk1); % 对Xk1作IDFT得到xn1 n1=0:2*M;

xc=xn1(mod(n1,M/2)+1); % 对xn1以M/2为周期进行延拓 subplot(2,2,1);stem(n,xn,'.');grid; title([num2str(M/2) '点三角波序列x(n)']); subplot(2,2,2);k=0:M-1;stem(k,abs(Xk),'.');grid; axis([0,M,0,max(Xk)]);

title(['三角波序列x(n)的' num2str(M) '点DFT:X(k)']); subplot(2,2,4);k1=0:M/2-1;stem(k1,abs(Xk1),'.');grid; axis([0,M/2,0,max(Xk)]);

title(['隔点抽取X(k)得到' num2str(M/2) '点DFT:X_1(k)']); subplot(2,2,3);stem(n1,xc,'.');grid; axis([0,2*M,0,max(xn1)]); title('序列x_1(n)的周期延拓'); 由程序运行结果可以看出，在频域[0,2

上采样点数小于离散序列x(n)的长度时，将产

生时域混叠，不能由X1(k)来恢复出原序列x(n)。只有当频域采样点数大于等于序列长度时，才能由频域采样X1(k)无失真的恢复出原序列x(n)，即x(n)?IDFT[X1(k)]。 2. 已知x(n) 是N1点序列，序列的有值区间为[0, N1-1]，h(n)是N2 点序列，序列的有值区间为[0，N2-1]，现将序列右移m 位，即序列的有值区间变为[m, m+N1-1]，然后对这序列做N 点圆周卷积得y(n)，试问y(n)中哪个n 值的范围对应于x(n)* h(n)的结果。

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m=2; N=7;

xn=[1 2 2 1 -1 2]; hn=ones(1,4);

y1=conv(xn,hn) % xn和hn的线性卷积

xn=[xn zeros(1,N-length(xn))]; hn1=[hn zeros(1,N-length(hn))];

yc1=ifft(fft(xn).*fft(hn1)) % xn和hn的N点圆周卷积

hn2=[zeros(1,m) hn];

xn=[xn zeros(1,N-length(xn))]; hn2=[hn2 zeros(1,N-length(hn2))];

yc2=ifft(fft(xn).*fft(hn2)) % xn和移位后的hn的N点圆周卷积

3. 理解高密度谱和高分辨率频谱的概念。 设x(n)?cos(0.48?n)?cos(0.52?n)

0?n?9，求X1(k); （1） 取x1(n)?x(n)，（2） 将（1）中的x1(n)补零加长到0?n?99，记为x2(n)，求X2(k);

0?n?99，求X3(k); （3） 增加抽样点的数目，取x3(n)?x(n)，L

程序清单如下：

定义序列x(n)

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function y=xn(n)

y=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n)+cos(0.51*pi*n); % 主程序清单 clf

xn=inline('cos(0.485*pi*n)+cos(0.51*pi*n)+cos(0.52*pi*n)','n'); % 定义一个inline局部函数 N1=10; N2=100;

n1=0:N1-1;k1=n1; n2=0:N2-1;k2=n2; w1=k1*2*pi/N1; w2=k2*2*pi/N2; w3=w2; x1=xn(n1); Xk1=fft(x1);

x2=[x1 zeros(1,N2-N1)]; Xk2=fft(x2);

x3=xn(n2); Xk3=fft(x3);

subplot(3,2,1)

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