南京市2018届高三年级第三次模拟考试与答案

?1 2 ??2 0 ?

已知矩阵A＝?B＝?若直线l: x－y＋2＝0在矩阵AB对应的变换作用下得到直线l1，求直线l1的方程． ?，?，

?0 1 ??0 1 ?

C．选修4—4：坐标系与参数方程

ππ

在极坐标系中，已知圆C经过点P（2，3），圆心C为直线?sin(θ－3)＝－3与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．

22．(本小题满分10分)

在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A(1，a) (a＞0)是抛物线C上一点，且AF＝2． （1）求p的值；

（2）若M，N为抛物线C上异于A的两点，且AM⊥AN．记点M，N到直线y＝－2的距离分别为d1，d2，求d1d2

的值．

(第22题图)

y M A · O F x N

23．(本小题满分10分) 已知fn(x)＝∑A

i＝1n－1n－i

n

x(x＋1)…(x＋i－1)，gn(x)＝An＋x(x＋1)…(x＋n－1)，其中x∈R，n∈N*且n≥2．

n

（1）若fn(1)＝7gn(1)，求n的值；

（2）对于每一个给定的正整数n，求关于x的方程fn(x)＋gn(x)＝0所有解的集合．

市2018届高三年级第三次模拟考试

数学参考答案

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）

22

1．{－3，－2，2} 2．5 3．150 4．7 5． 6．[，2] 7． ①③

31125

8．5 9．4 10．2 11．x＋2y－4＝0 12．－3 13． 14．[e2，4e]

9

二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域） 15．(本小题满分14分)

2727

解：（1）因为点P的横坐标为，P在单位圆上，α为锐角，所以cosα＝， ……2分

77

1

所以cos2α＝2cos2α－1＝． ……4分

7

3333

（2）因为点Q的纵坐标为，所以sinβ＝． ……6分

141413

又因为β为锐角，所以cosβ＝． ……8分

14

272143

因为cosα＝，且α为锐角，所以sinα＝，因此sin2α＝2sinαcosα＝， …10分

777所以sin(2α－β) ＝

43131333

×－×＝． …12分 7147142

π

因为α为锐角，所以0＜2α＜π．又cos2α＞0，所以0＜2α＜，

2πππ

又β为锐角，所以－＜2α－β＜，所以2α－β＝． ……14分

223

16．(本小题满分14分)

（1）证明：如图1，连结PE．因为△PBC的边长为2的正三角形，E为BC中点，

P 所以PE⊥BC， ……2分 且PE＝3，同理AE＝3．

因为PA＝6，所以PE2＋AE2＝PA2，所以PE⊥AE．……4分 因为PE⊥BC，PE⊥AE，BC∩AE＝E，AE，BC ?平面ABC， 所以PE ⊥平面ABC．

因为PE?平面PBC，所以平面PBC⊥平面ABC． ……7分 （2）解法一

如图1，连接CD交AE于O，连接OM．

因为PD∥平面AEM，PD?平面PDC，平面AEM∩平面PDC＝OM， 所以PD∥OM， …………9分 PMDO

所以＝． …………11分

PCDC

因为D，E分别为AB，BC的中点，CD∩AE＝O，所以O为?ABC重心，所以12

所以PM＝PC＝． ………14分

33

解法二

如图2，取BE的中点N，连接PN． 因为D，N分别为AB，BE的中点， 所以DN∥AE．

又DN?平面AEM，AE?平面AEM， 所以DN∥平面AEM．

又因为PD∥平面AEM，DN?平面PDN，PD?平面PDN，DN∩PD＝D， 所以平面PDN∥平面AEM． ………………………………9分 又因为平面AEM∩平面PBC＝ME，平面PDN∩平面PBC＝PN，

A D B (图2)

E C M P A D O E M C B

(图1)

DO1＝， DC3

N 所以ME∥PN，所以PMPC＝NE

NC

． ………………………………11分

因为E，N分别为BC，BE的中点，所以NE112

NC＝3，所以PM＝3PC＝3

． …………14分

17．(本小题满分14分) ………

解：（1）连结DC．在△ABC中，AC为2百米，AC⊥BC，∠A为π

3

，

所以∠CBA＝π

6

，AB＝4，BC＝23． ………2分

因为BC为直径，所以∠BDC＝π

2，所以BD＝BC cosθ＝23cosθ． …………4分

（2）在△BDF中，∠DBF＝θ＋ππ

6，∠BFD＝3

，BD＝23cosθ，

所以DF＝BFBDπ

sin(θ＋ππ＝， 所以DF＝4cosθsin(＋θ)， ……………6分

6)sin(2－θ)

sin∠BFD6且BF＝4cos2θ，所以DE＝AF=4－4cos2θ， …………8分

所以DE＋DF＝4－4cos2θ＋4 cosθsin(π6＋θ)=3sin2θ－cos2θ＋3＝2 sin(2θ－π

6

)＋3． ………12分

因为π3≤θ＜π2，所以π2≤2θ－π6＜5π6，所以当2θ－π6＝π2，即θ＝π

3时，DE＋DF有最大值5，此时E与C重合．分答：当E与C重合时，两条栈道长度之和最大． …………14分 18．(本小题满分16分)

解（1）离心率e＝ca＝32，所以c＝31

2a，b＝a2－c2＝2

a， ………………2分

的方程为x2y2

所以椭圆C4b2＋b

2＝1．

因为椭圆C经过点P(85，35)，所以169

25b2＋25b2

＝1， 所以b2＝1，所以椭圆C的方程为x2

4＋y2＝1． …………………………………4分

（2）解法一

设N(n，0)，当l斜率不存在时，A(25，y)，B(2(2)2

5，－y)，则y2＝1－524

4＝25，

则→NA?→NB＝(25－n)2－y2＝(25－n)2－24

25＝n2－45n－45， …………6分

当l经过左?右顶点时，→NA?→NB＝(－2－n)(2－n)＝n2－4． 令n2－44

5n－5

＝n2－4，得n＝4． ………………8分

下面证明当N为(4，0)时，对斜率为k的直线l：y＝k(x－2

5

)，恒有→NA?→NB＝12．

x2设A(x?4＋y2

＝1，1，y1)，B(x2，y2)，由?2＋1)x2－16k2x＋16k2－4＝0， ?

y＝k(x－2消去y，得(4k5255

)，

13

…