(word完整版)2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学解析(全国一卷)

│AF││F2B│，10.已知椭圆C的焦点为F1(?1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若2?2│AB│?│BF│1，则C的方程为

x2A. ?y2?1

2【答案】B 【分析】

x2y2B. ??1

32x2y2C. ??1

43x2y2??1 D. 54可以运用下面方法求解：如图，由已知可设F2B?n，则AF2?2n,BF1?AB?3n，由椭圆的定义有

2a?BF1?BF2?4n,?AF1?2a?AF2?2n．在△AF1F2和△BF1F2中，由余弦定理得?4n2?4?2?2n?2?cos?AF2F1?4n2,?cos?AF2F1?cos?BF2F1?0，，又?AF2F1,?BF2F1互补，两?22?n?4?2?n?2?cos?BF2F1?9ncos?AF2F1,cos?BF2F1式消去，得，解得3n2?6?11n2x2y23222．故选B． ?2a?4n?23,?a?3,?b?a?c?3?1?2,?所求椭圆方程为??1，n?322【详解】如图，由已知可设F2B?n，则AF2?2n,BF1?AB?3n，由椭圆的定义有

2a?BF1?BF2?4n,?AF1?2a?AF2?2n．在△AF1B中，由余弦定理推论得

14n2?9n2?9n21322在△AF1F2中，由余弦定理得4n?4n?2?2n?2n??4，解得n?． cos?F1AB??．

32?2n?3n32x2y2222?2a?4n?23,?a?3,?b?a?c?3?1?2,?所求椭圆方程为??1，故选B．

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总结：本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．

11.关于函数f(x)?sin|x|?|sin x|有下述四个结论：

①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（

?,?）单调递增 2③f(x)在[??,?]有4个零点 ④f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A. ①②④ B. ②④ C. ①④ 【答案】C 【分析】

画出函数f?x??sinx?sinx的图象，由图象可得①④正确，故选C．

D. ①③

5

【详解】Qf??x??sin?x?sin??x??sinx?sinx?f?x?,?f?x?为偶函数，故①正确．当

?????x??时，f?x??2sinx，它在区间?,??单调递减，故②错误．当0?x??时，2?2?f?x??2sinx，它有两个零点：0??；当???x?0时，f?x??sin??x??sinx??2sinx，它有一个

零点：??，故f?x?在???,??有3个零点：???0??，故③错误．当x??2k?,2k????k?N???时，

f?x??2sinx；当x??2k???,2k??2???k?N??时，f?x??sinx?sinx?0，又f?x?为偶函数，?f?x?的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C．

总结：化简函数f?x??sinx?sinx，研究它的性质从而得出正确答案．

12.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，PB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为 A. 86?

B. 46?

C. 26?

D.

6?

【答案】D 【分析】

本题也可用解三角形方法，达到求出棱长的目的．适合空间想象能力略差学生．

设PA?PB?PC?2x，E,F分别为PA,AB中点，

1PB?x，Q?ABC为边长为2等边三角形， 212?CF?3又?CEF?90??CE?3?x,AE?PA?x

2x2?4?3?x2，作PD?AC于D，QPA?PC， ?AEC中余弦定理cos?EAC?2?2?xAD1x2?4?3?x21?，?， QD为AC中点，cos?EAC??PA2x4x2x12，?PA?PB?PC?2，又AB=BC=AC=2，?PA,PB,PC两?2x2?1?2?x2?x?22?EF//PB，且EF???

6

两垂直，?2R?2?2?2?6，?R?64466，?V??R3????6?，故选D. 2338【详解】QPA?PB?PC,?ABC为边长为2的等边三角形，?P?ABC为正三棱锥，

?PB?AC，又E，F分别PA、AB中点，

?EF//PB，?EF?AC，又EF?CE，CEIAC?C,?EF?平面PAC，PB?平面

PAC，??PAB??????PA?PB?PC?2，?P?ABC为正方体一部分，2R?2?2?2?6，即 R?64466,?V??R3????6?，故选D． 2338

总结：本题考查学生空间想象能力，补型法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互

相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补型成正方体解决．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2x13.曲线y?3(x?x)e在点(0,0)处的切线方程为___________．

【答案】3x?y?0. 【分析】

本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程

/x2x2x【详解】详解：y?3(2x?1)e?3(x?x)e?3(x?3x?1)e,

/所以，k?y|x?0?3

所以，曲线y?3(x?x)e在点(0,0)处的切线方程为y?3x，即3x?y?0．

总结：准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．

14.记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1?，a4?a6，则S5=____________． 【答案】

2x132121. 3【分析】

本题根据已知条件，列出关于等比数列公比q的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到S5．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查． 【详解】设等比数列的公比为q，由已知a1?1211,a4?a6，所以(q3)2?q5,又q?0， 3331(1?35)5a(1?q)3121． 所以q?3,所以

S5?1??1?q1?33

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总结：准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误．

．根据前15.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）

期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________． 【答案】0.216. 【分析】

本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．

3【详解】前五场中有一场客场输时，甲队以4:1获胜的概率是0.6?0.5?0.5?2?0.108, 前五场中有一场主场输时，甲队以4:1获胜的概率是0.4?0.6?0.5?3?0.108,

综上所述，甲队以4:1获胜概率是q?00.108?0.108?0.216.

总结：由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算．

22x2y216.已知双曲线C：2?2?1(a?0,b?0)左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分

abruuuruuuruuuruuu别交于A，B两点．若F，则C的离心率为____________． 1A?AB，F1B?F2B?0【答案】2. 【分析】

本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取几何法，利用数形结合思想解题． 【详解】如图，

uuuruuur由F得F1A?AB.又OF1?OF2,得OA是三角形F1F2B的中位线，即1A?AB,uuuruuuurBF2//OA,BF2?2OA.由F1BgF2B?0，得F1B?F2B,OA?F1A,则OB?OF1?OF2,有?OBF2??BF2O?2?OBF1?2?OF1B,?AOB??AOF1．又OA与OB都是渐近线，得

b?BOF2??AOF1,则?BOF2?600．又渐近线OB的斜率为?tan600?3，所以该双曲线的离心率acb为e??1?()2?1?(3)2?2．

aa总结：此题若不能求出直角三角形的中位线的斜率将会思路受阻，即便知道双曲线渐近线斜率和其离

0心率的关系，也不能顺利求解，解题需要结合几何图形，关键得到?BOF2??AOF1??BOA2?60,即

的的

得到渐近线的倾斜角为60,从而突破问题障碍．

0三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考

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