高一数学正切函数和余切函数的图像与性质2（教师版）

学科教师辅导讲义

年 级： 高一 辅导科目： 数学 课时数： 课 题 正切函数和余切函数的图像与性质 1、让学生掌握正切函数的图像，性质 2、熟练求出正切函数的周期，单调区间等 教学内容 教学目的 【知识梳理】 正切函数y?tanxx?R，且x??2?k??k?z?的图象，称“正切曲线” 余切函数y＝cotx，x∈(kπ，kπ+π)，k∈Z的图象（余切曲线） 正切函数的性质： 1．定义域：?x|x?2．值域：R 3．当x??k?,k??4．周期性：T?? 5．奇偶性：tan??x???tanx奇函数 ?????k?,k?z?， 2?????????k?z时y?0，当x??k??,k??k?z时y?0 2?2??6．单调性：在开区间???????k?,?k??k?z内，函数单调递增 2?2?余切函数y＝cotx，x∈(kπ，kπ+π)，k∈Z的性质： 1．定义域：x?R且x?k?,k?z

2．值域：R， 3．当x??k?,k??????????k?z时y?0，当x??k??,k??k?z时y?0 2?2??4．周期：T?? 5．奇偶性：奇函数 6．单调性：在区间?k?,?k?1???上函数单调递减 【典型例题分析】 例1、用图象解不等式tanx?3。 解：利用图象知，所求解为?k??亦可利用单位圆求解 变式练习：tanx??1。 ???3,k????2??k?z 答案：k???2?x?k???4,k?Z。 ,x??0,2??且x?例2、作出函数y?tanx1?tanx2?3?,的简图 22?????3??sinx,x?0,?,2?????tanxtanx??22???? 解：y????1??3??1?tan2x??sinx,x??,?cosx??22?? 例3、求下列函数的定义域。 1、y?cotx 2、y?cotx?cscx tanx?1

???k??x?k???cotx?0?2?tanx?1?0???x?k???解：1、?4k?z x?k?????x?k??x?k?????2x?k????2??????????k?,k?????k??,k???,k?Z 4??42???cotx?0?cotx?0??2?cscx?0或?cscx?0??第一象限或第四象限包括y轴? ?x?k??x?k???变式练习：求下列函数的定义域。 （1）y?cosx?tanx； （2）y?log2(cotx?1) （3）y?1 1?tanx答案：（1）?xx?R且x?k??????,k?Z? 2?（2）?xk??x?k??????,k?Z? 4?（3）?xx?k?????4,且x?k????,k?Z? 2?例4、求函数y?tan?3x?解：由3x??????的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性 3??3?k???2得x?k?5?， ?318k?5????所求定义域为?x|x?R,且x??,k?z? 318??值域为R，周期T??3，是非奇非偶函数 在区间??k??k?5???,???k?z?上是增函数 318318??

变式练习：画出函数y?cot(x?答案：图略 定义域：?xx?R且x?k???2)?tanx的图像，并指出其定义域，值域，最小正周期和单调区间。 ????,k?Z?； 2?值域：?0,???； 最小正周期：?； 单调递增区间：?k?,k??例5、 （1）求y?tanx?4tanx?1的值域； （2）若x??2?????(k?Z) 2??????,?时，y?k?tan(?2x)的值总不大于零，求实数k的取值范围。 3?63?解析：（1）令t?tanx则转化为t的二次函数求最值； 值域为??5,??? （2）由y?tanx?4tanx?1?0得k??tan(所以k?0即可。 2????????2x)?tan(2x?)Qx??,??0?tan(2x?)?3 333?63?tan2x?tanx?1变式练习：求函数y?的最大值、最小值，并求函数取得最大值最小值时自变量x的集合。 2tanx?tanx?1u2?u?1(u?R) 解析：令u?tanx(x?k??,k?Z)外层函数是y?2u?u?12?u2?u?12u?1?2则y?2 u?u?1u?u?1当u=0时，y=1 ?2u21x?k??,k?Z时取到等号。 在?1??14u2?u?13u??1u?2u2当u《0时，y?1?2?1??3在x?k??,k?Z时取到等号。 14u?u?1u??1u1?所以ymin?此时x?k??,k?Z 34当u>0时，y?1?