2020高考理科数学二轮考前复习方略练习：专题五 第1讲 直线与圆 Word版含解析

第1讲 直线与圆

［做高考真题·明命题趋向］

［做真题—高考怎么考］

题型一 圆的方程

1．(2016·高考全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝( )

4

A．－

3C．3

3B．－ 4D．2

|a＋4－1|4

解析：选A．由题可知，圆心为(1，4)，结合题意得＝1，解得a＝－. 3

a2＋1x2y2

2．(2015·高考全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴

164上，则该圆的标准方程为________．

解析：由题意知a＝4，b＝2，上、下顶点的坐标分别为(0，2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4，0)．由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0，2)，(0，－2)，(4，0)三点．设圆的标准3m＝，?2?

方程为(x－m)2＋y2＝r2(0＜m＜4，r＞0)，则?解得所以圆的标准方程

2225??(4－m)＝r，r2＝.

4

m2＋4＝r2，

???

325为(x－)2＋y2＝. 24

325答案：(x－)2＋y2＝ 24

3．(2018·高考全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.

(1)求l的方程；

(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程． 解：(1)由题意得F(1，0)，l的方程为y＝k(x－1)(k＞0)． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

??y＝k(x－1)，22由?得kx－(2k2＋4)x＋k2＝0. ??y2＝4x

2k2＋4Δ＝16k＋16＞0，故x1＋x2＝k2. 2

4k2＋4

所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝2.

k

4k2＋4

由题设知2＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.因此l的方程为y＝x－1.

k

(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则

?y＝－x＋5，

?(y－x＋1)

?(x＋1)＝2＋16，

0

0

0

2

0

0

2

??x0＝3，??x0＝11，解得?或?

???y0＝2?y0＝－6.

因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144. 题型二 直线与圆、圆与圆的位置关系

1．(2018·高考全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是( )

A．[2，6] C．[2，32]

B．[4，8] D．[22，32]

|2＋0＋2|解析：选A．圆心(2，0)到直线的距离d＝＝22，所以点P到直线的距离d1

2∈[2，32]．根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(－2，0)，B(0，－2)，所以|AB|1

＝22，所以△ABP的面积S＝|AB|d1＝2d1.因为d1∈[2，32]，所以S∈[2，6]，即△ABP

2面积的取值范围是[2，6]．

2．(2015·高考全国卷Ⅱ)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝( )

A．26 C．46

B．8 D．10

解析：选C．设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

D＋3E＋F＋10＝0，??

则?4D＋2E＋F＋20＝0， ??D－7E＋F＋50＝0.D＝－2，??

解得?E＝4，

??F＝－20.

所以圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0. 令x＝0，得y＝－2＋26或y＝－2－26，

所以M(0，－2＋26)，N(0，－2－26)或M(0，－2－26)，N(0，－2＋26)，所以|MN|＝46，故选C．

3．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知直线l：mx＋y＋3m－3＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝23，则|CD|＝________．

解析：设圆心到直线l：mx＋y＋3m－3＝0的距离为d，则弦长|AB|＝23m－3||得d＝3，即＝3，解得m＝－m2＋1

|AB|

＝4. cos 30°

答案：4

［明考情—备考如何学］

1．近两年圆的方程成为高考全国卷命题的热点，需重点关注．此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式考查．

2．直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，有时也会出现在压轴题的位置，难度较大，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上．

［研考点考向·破重点难点］

考点1 直线的方程

[考法全练]

1．若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝( ) A．1±2或0 2±5C．

2

2－5B．或0

22＋5D．或0

2

12－d2＝23，

3

，则直线l：x－3y＋6＝0，数形结合可得|CD|＝3

解析：选A．因为平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，所以kAB＝kAC，即a2＋aa3＋a

＝，即a(a2－2a－1)＝0，解得a＝0或a＝1±2.故选A． 2－13－1

2．若直线mx＋2y＋m＝0与直线3mx＋(m－1)y＋7＝0平行，则m的值为( ) A．7 C．0

B．0或7 D．4

解析：选B．因为直线mx＋2y＋m＝0与直线3mx＋(m－1)y＋7＝0平行，所以m(m－1)＝3m×2，所以m＝0或7，经检验，都符合题意．故选B．

6

m－?x＋1(m≠0)与线段AB相交，则实数3．已知点A(1，2)，B(2，11)，若直线y＝?m??m的取值范围是( )

A．[－2，0)∪[3，＋∞) C．[－2，－1]∪[3，6]

B．(－∞，－1]∪(0，6] D．[－2，0)∪(0，6]

6

m－?x＋1(m≠0)的两解析：选C．由题意得，两点A(1，2)，B(2，11)分布在直线y＝?m??66

m－－2＋1??2?m－?－11＋1?≤0，解得－2≤m≤－1或侧(或其中一点在直线上)，所以?mm??????3≤m≤6，故选C．

4．已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且点P(0，4)到直线l的距离为2，则直线l的方程为__________________．

??x－2y＋3＝0，??x＝1，

解析：由?得?所以直线l1与l2的交点为(1，2)．显然直线x＝1

?2x＋3y－8＝0，??y＝2，?

不符合，即所求直线的斜率存在，设所求直线的方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，|－4＋2－k|4

因为P(0，4)到直线l的距离为2，所以＝2，所以k＝0或k＝.所以直线l的方

3

1＋k2程为y＝2或4x－3y＋2＝0.

答案：y＝2或4x－3y＋2＝0

5．(一题多解)已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于直线l对称，则直线l2的方程是________．

解析：法一：l1与l2关于l对称，则l1上任意一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1

的交点(1，0)在l2上．