（全国通用版）2020高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第2讲 圆锥曲线学案 文

x2y222

2．(2017·全国Ⅱ改编)若双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)＋y＝4

ab所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为________． 答案 2

解析 设双曲线的一条渐近线方程为y＝x， 圆的圆心为(2,0)，半径为2，

由弦长为2，得圆心到渐近线的距离为2－1＝3. 由点到直线的距离公式，得

|2b|

2

2

baa＋b22

＝3，解得b＝3a.

22

c所以双曲线C的离心率e＝＝

ac2＝a2

2

b2

1＋2＝2. a3．(2017·全国Ⅱ改编)过抛物线C：y＝4x的焦点F，且斜率为3的直线交C于点M(M在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为________． 答案 23

解析 抛物线y＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由直线方程的点斜式，

2

可得直线MF的方程为y＝3(x－1)． 联立方程组?

?y＝3?x－1?，?y2＝4x，

1x＝，??3解得?

23y＝－??3

2

?x＝3，

或?

?y＝23.

∵点M在x轴的上方，∴M(3,23)． ∵MN⊥l，∴N(－1,23)． ∴|NF|＝?1＋1?＋?0－23?＝4， |MF|＝|MN|＝3－(－1)＝4. ∴△MNF是边长为4的等边三角形． ∴点M到直线NF的距离为23.

2

9

x2y2

4．(2017·山东)在平面直角坐标系xOy中，双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为Fab的抛物线x＝2py(p>0)交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________． 答案 y＝±

2x 2

2

解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

xy??2－2＝1，由?ab??x2＝2py，

22

2

22

22

消去x，

得ay－2pby＋ab＝0， 2pb∴y1＋y2＝2.

2

a又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|，

∴y1＋＋y2＋＝4×，即y1＋y2＝p，

222

pppb21b2∴2＝p，即2＝，∴＝， aa2a2

2pb∴双曲线的渐近线方程为y＝±押题预测

2

x. 2

2

x2y2

1．已知F1，F2是双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F2作双曲线一条渐近线的垂

ab→1→

线，垂足为点A，交另一条渐近线于点B，且AF2＝F2B，则该双曲线的离心率为( )

3A.

65

B. C.3 D．2 22

押题依据 圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的灵魂，其中离心率、渐近线是高考命题的热点． 答案 A

解析 由F2(c,0)到渐近线y＝x的距离为d＝

babc→＝b，则→＝3b. ＝b，即AFBF2222a＋b||||

→在△AF2O中，→OA|＝a，|OF2

||

bab4b2

＝c，tan∠F2OA＝，tan∠AOB＝＝，化简可得aaa?b?2

1－???a?

2×

32c62222

＝2b，即c＝a＋b＝a，即e＝＝，故选A.

2a2

10

x2y21?3?2．已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，且点?1，?在该椭圆上． ab2?2?

(1)求椭圆C的方程；

62

(2)过椭圆C的左焦点F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AOB的面积为，求圆7心在原点O且与直线l相切的圆的方程．

押题依据 椭圆及其性质是历年高考的重点，直线与椭圆的位置关系中的弦长、中点等知识应给予充分关注．

解 (1)由题意可得e＝c1

a＝2

，

又a2

＝b2

＋c2

， 所以b2

＝324

a.

因为椭圆C经过点??3?1，2???

， 9所以1

4a2＋3＝1，

4a2

解得a2

＝4，所以b2

＝3， 故椭圆C的方程为x2y2

4＋3

＝1.

(2)由(1)知F1(－1,0)，设直线l的方程为x＝ty－1，

?x＝ty－1，由??x22＋y＝消去x，得(4＋3t2)y2

－6ty－9＝0，

??43

1，

显然Δ>0恒成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则yt9

1＋y2＝

64＋3t2，y1y2＝－4＋3t2， 所以|y＝?y21－y2|1＋y2?－4y1y2 2

＝ 36t3612t2

＋1?4＋3t2?2＋4＋3t2＝4＋3t2， 所以S＝1

△AOB2·|F1O|·|y1－y2|

2

＝6t＋1624＋3t2＝7， 化简得18t4

－t2

－17＝0，

11

即(18t＋17)(t－1)＝0， 1722

解得t1＝1，t2＝－(舍去)．

18

|0－t×0＋1|1

又圆O的半径r＝＝， 22

1＋t1＋t所以r＝

2122

，故圆O的方程为x＋y＝. 22

22

A组 专题通关

y2x2

1．(2018·合肥模拟)已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的上焦点为F，M是双曲线虚轴的

ab→

一个端点，过F，M的直线交双曲线的下支于A点．若M为AF的中点，且|AF|＝6，则双曲线

C的方程为( )

A.－＝1 28C．y－＝1

4答案 C

解析 设M为双曲线虚轴的右端点，

由题意，可得F(0，c)，M(b,0)，则A(2b，－c)，

2

y2x2

B.－＝1 82D.－x＝1 4

y2x2y2

x2

2

??c4b由题意可得?－＝1，

ab??c＝a＋b，

2

2

2

2

2

2

2

2

b2＋c2＝9，

x2

解得a＝1，b＝2，

所以双曲线C的方程为y－＝1.

4

x2y2

2．(2018·潍坊模拟)设P为双曲线2－2＝1右支上一点，F1，F2分别为该双曲线的左、右焦

ab→→

点，c，e分别表示该双曲线的半焦距和离心率．若PF1·PF2＝0，直线PF2交y轴于点A，则△AF1P的内切圆的半径为( ) A．a B．b C．c D．e 答案 A

→→

解析 根据题意PF1·PF2＝0，可知△AF1P是直角三角形，根据直角三角形的内切圆的半径公

12