(全国通用版)2020高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第2讲 圆锥曲线学案 文

思维升华 (1)明确圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解问题的关键．

(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．

跟踪演练2 (1)(2018·全国Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为( ) A．1－

33－1

B．2－3 C. D.3－1 22

答案 D

x2y2

解析 在Rt△PF1F2中，∠PF2F1＝60°，设椭圆的方程为2＋2＝1(a>b>0)，且焦距|F1F2|＝2，

ab则|PF2|＝1，|PF1|＝3，

由椭圆的定义可知，2a＝1＋3，2c＝2，

1＋3c2得a＝，c＝1，所以离心率e＝＝＝3－1.

2a1＋3

x2y2?2?(2)已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的焦距为2c，直线l过点?a，0?且与双曲线C的一

ab?3?

条渐近线垂直，以双曲线C的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线l交于M，N两点，若42

|MN|＝c，则双曲线C的渐近线方程为( )

3A．y＝±2x C．y＝±2x 答案 B

解析 方法一 由题意可设渐近线方程为y＝x，则直线l的斜率kl＝－，

B．y＝±3x D．y＝±4x

baaba?2?

直线l的方程为y＝－?x－a?，

b?3?

22

整理可得ax＋by－a＝0.

3焦点(c,0)到直线l的距离

d＝?ac－2a2??ac－2a2???3?3?????

a2＋b2＝

c，

则弦长为2c－d＝2

22c2－?ac－2a2?2

?3???42

c2

＝

3

c，

5

整理可得c－9ac＋12ac－4a＝0， 即e－9e＋12e－4＝0，

分解因式得(e－1)(e－2)(e＋3e－2)＝0.

2

4

2

42234

又双曲线的离心率e>1，则e＝＝2，

cab所以＝ac2－a2

＝a2?c?2－1＝3， ?a???

所以双曲线C的渐近线方程为y＝±3x. 方法二 圆心到直线l的距离为c2－??22?2cc?＝， ?3?3

∴

?ac－2a2???3?c?

c＝，∴c－3ac＋2a＝0，

3

22

∴c＝2a，b＝3a，∴渐近线方程为y＝±3x. 热点三 直线与圆锥曲线

判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法

(1)代数法：联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标． (2)几何法：画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．

x2y2

例3 (2018·衡水金卷调研)已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的

ab直线交椭圆于A，B两点．

1

(1)若直线AB与椭圆的长轴垂直，|AB|＝a，求椭圆的离心率；

22a(2)若直线AB的斜率为1，|AB|＝22，求椭圆的短轴与长轴的比值．

a＋b解 (1)由题意可知，直线AB的方程为x＝－c， 2b1

∴|AB|＝＝a，

a2即a＝4b，

2

2

2

3

c故e＝＝aa2－b2＝a2b231－2＝. a2

(2)设F1(－c,0)，则直线AB的方程为y＝x＋c，

y＝x＋c，??22

联立?xy2＋2＝1，??ab

消去y，

6

得(a＋b)x＋2acx＋ac－ab＝0，

22222222

Δ＝4a4c2－4a2(a2＋b2)(c2－b2)＝8a2b4.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

2aca?c－b?

则x1＋x2＝－22，x1x2＝22，

a＋ba＋b∴|AB|＝1＋1|x1－x2|

8ab＝2·?x1＋x2?－4x1x2＝2·22

a＋b2

24

2

2

2

2

4ab2a＝2， 2＝2

a＋ba＋b2

23

b21

∴a＝2b，∴2＝，

a2

2

2

2b22∴＝，即椭圆的短轴与长轴之比为. 2a22

思维升华 解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．

跟踪演练3 如图所示，抛物线y＝4x的焦点为F，动点T(－1，m)，过F作TF的垂线交抛物线于P，Q两点，弦PQ的中点为N.

2

(1)证明：线段NT平行于x轴(或在x轴上)； (2)若m>0且|NF|＝|TF|，求m的值及点N的坐标．

(1)证明 抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1，动点T(－1，m)在准线上， 则kTF＝－.

2

当m＝0时，T为抛物线准线与x轴的交点，这时PQ为抛物线的通径，点N与焦点F重合，显然线段NT在x轴上； 2

当m≠0时，由条件知kPQ＝，

mm2

所以直线PQ的方程为y＝(x－1)．

m 7

y＝4x，??联立?2

y＝?x－1?，??m2

2

2

消去y，

得x－(2＋m)x＋1＝0，

Δ＝[－(2＋m2)]2－4＝m2(4＋m2)>0，

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

22

可知x1＋x2＝2＋m，y1＋y2＝(x1＋x2－2)＝2m.

m?2＋m，m?，又T(－1，m)，

所以弦PQ的中点N??

?2?

所以kNT＝0，则NT平行于x轴．

综上可知，线段NT平行于x轴(或在x轴上)． (2)解 已知|NF|＝|TF|，

|NF|

在△TFN中，tan∠NTF＝＝1，得∠NTF＝45°，

|TF|

设A是准线与x轴的交点，则△TFA是等腰直角三角形，所以|TA|＝|AF|＝2， 又动点T(－1，m)，其中m>0，则m＝2. 因为∠NTF＝45°，所以kPQ＝tan 45°＝1， 又焦点F(1,0)，可得直线PQ的方程为y＝x－1. 由m＝2，得T(－1,2)， 由(1)知线段NT平行于x轴，

设N(x0，y0)，则y0＝2，代入y＝x－1，得x0＝3， 所以N(3,2)．

综上可知，m＝2，N(3,2)．

2

真题体验

y2

1．(2017·北京)若双曲线x－＝1的离心率为3，则实数m＝________.

m2

答案 2

解析 由双曲线的标准方程知，a＝1，b＝m，c＝1＋m， 故双曲线的离心率e＝＝1＋m＝3， ∴1＋m＝3，解得m＝2.

2

ca 8