（全国通用版）2020高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第2讲 圆锥曲线学案 文

第2讲 圆锥曲线

[考情考向分析] 1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率).2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等)．

热点一 圆锥曲线的定义与标准方程 1．圆锥曲线的定义

(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)． (2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)．

(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于点M. 2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”

所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a，b，p的值．

例1 (1)(2018·乌鲁木齐诊断)椭圆的离心率为

2

，F为椭圆的一个焦点，若椭圆上存在一2

2

2

点与F关于直线y＝x＋4对称，则椭圆方程为( ) A.＋＝1 189

C.＋＝1或＋＝1 189918答案 C

解析 由题意知，＝当F在x轴上时，

x2x2

y2y2

B.＋＝1

918

x2y2

x2y2

D.＋＝1或＋＝1 8448

x2y2x2y2

ca2222

，得a＝2b＝2c， 2

x2y2

不妨设椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0)，

ab椭圆上任取点P(x0，y0)，取焦点F(－c,0)， 则PF中点M?

?x0－c，y0?，

2??2?

0

0

yx－c??2＝2＋4，

根据条件可得?yk＝??x＋c＝－1，

0

PF0

1

联立两式解得x0＝－4，y0＝4－c， 代入椭圆方程解得a＝32，b＝3， 由此可得椭圆方程为＋＝1.

189

同理，当F在y轴上时，椭圆方程为＋＝1.

189

(2)(2018·龙岩质检)已知以圆C：(x－1)＋y＝4的圆心为焦点的抛物线C1与圆C在第一象限交于A点，B点是抛物线C2：x＝8y上任意一点，BM与直线y＝－2垂直，垂足为M，则|BM|－|AB|的最大值为( ) A．1 B．2 C．－1 D．8 答案 A

解析 因为圆C：(x－1)＋y＝4的圆心为C(1,0)， 所以可得以C(1,0)为焦点的抛物线方程为y＝4x，

??y＝4x，由?22

??x－1?＋y＝4，?

2

2

2

2

2

2

2

2

x2y2

y2x2

解得A(1,2)．

抛物线C2：x＝8y的焦点为F(0,2)， 准线方程为y＝－2，

即有|BM|－|AB|＝|BF|－|AB|≤|AF|＝1，

当且仅当A，B，F(A在B，F之间)三点共线时，可得最大值1.

思维升华 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意当焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．

(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．

跟踪演练1 (1)(2018·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学模拟)与椭圆C：＋＝1共焦点且

62渐近线方程为y＝±3x的双曲线的标准方程为( ) A．x－＝1

3C．y－＝1

3答案 D

解析 ∵＋＝1的焦点坐标为(0，±2)，

62∴双曲线的焦点为(0，±2)，可得c＝2＝a＋b， 由渐近线方程为y＝±3x，得＝3， ∴a＝3，b＝1，

2

2

2

22

y2x2

y2x2

B.－y＝1 3D.－x＝1 3

x2y2

2

2

y2x2

ab∴双曲线的标准方程为－x＝1，故选D.

3

(2)如图，过抛物线y＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为( )

2

y2

2

A．y＝9x B．y＝6x C．y＝3x D．y＝3x 答案 C

解析 如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设准线交x轴于点G.

2

2

2

2

设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，

由抛物线定义，得|BD|＝a，故∠BCD＝30°， 在Rt△ACE中，

∵|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，|AC|＝2|AE|， ∴3＋3a＝6，

从而得a＝1，|FC|＝3a＝3. 13

∴p＝|FG|＝|FC|＝，

22

因此抛物线方程为y＝3x，故选C. 热点二 圆锥曲线的几何性质

1．椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系 (1)在椭圆中：a＝b＋c，离心率为e＝＝(2)在双曲线中：c＝a＋b，离心率为e＝＝2

2

2

2

2

2

2

ca1－??.

a1＋??.

a?b?2??

ca?b?2??

x2y2b2．双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.注意离心率e与渐近线的斜率的关

aba系．

3

x2y2

例2 (1)(2018·永州模拟)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的右焦点为F2，O为坐标原点，Mab为y轴上一点，点A是直线MF2与椭圆C的一个交点，且|OA|＝|OF2|＝3|OM|，则椭圆C的离心率为( ) A.

101055 B. C. D. 4653

答案 A

解析 因为|OA|＝|OF2|＝3|OM|， 所以∠F1AF2＝90°. 设|AF1|＝m，|AF2|＝n， 如图所示，由题意可得

Rt△AF1F2∽Rt△OMF2， |AF1||OM|1所以＝＝，

|AF2||OF2|3则m＋n＝2a，m＋n＝4c，

2

2

2

n＝3m，

2b222

解得m＝，n＝9m＝6b，

3

2

2

2b5?a－c?222

所以＋6b＝4c，即＝c，

33解得e＝＝222

ca10

，故选A. 4

x2y2

(2)(2018·全国Ⅲ)已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则点(4,0)到C的渐

ab近线的距离为( )

32

A.2 B．2 C. D．22

2答案 D

解析 由题意，得e＝＝2，c＝a＋b，得a＝b. 又因为a>0，b>0，所以a＝b，渐近线方程为x±y＝0， 所以点(4,0)到渐近线的距离为42＝22.

ca22222

4