反例在泛函分析教学中的应用-精选教育文档

这样通过反例来强调对定理条件的重视比靠简单地采取重复叙述来强调，相信效果会好许多，而且可以化抽象为具体，使学生能够深入浅出地理解定理的基本思想。

4 利用反例，能使提高学生分析问题和解决问题的能力 在教学过程中，除了我们应用反例教学之外，还应善于引导学生构造反例。构造反例不是一项简单的工作，它没有明朗清晰的思维途径，构造反例的前提是学生必须对所学的定义、定理、性质有清楚的理解，并且需要更高的数学素养和勇于创新的能力[4]。

由于很多反例的构造并不唯一，这就从另一方面给学生提供了培养创新能力的多种途径，反例的运用可以强化推理的严谨性，培养思维的批判性，发展逆向思维和发散思维，全面提高解题能力，经常的情况是举一个反例比找一个证明更需要想象力和创造性，举反例的过程就是使学生的数学能力逐步提高的过程。 从而有效提高教学质量[5]。

例4 举例说明，在压缩映射原理中，空间的完备性条件不可少。

分析：我们非常清楚压缩映射原理的内容：完备度量空间上的压缩映射存在唯一不动点。而不动点的存在性来自于度量空间的完备性，所以可以举一个例子，满足：度量空间不完备，其上定义的压缩映射不存在唯一的不动点。

设X为区间[0，1]中的无理数全体，令d（x，y）=x-y，x，

y∈X，则（X，d）为一不完备度量空间，定义映射Tx=■，x∈X，则d（Tx，Ty）=■，故T 是X到自身的压缩映射，但Tx=■的解0？埸X，即T不存在唯一的不动点x0∈X。

例5 举例说明存在有界线性算子，其逆算子无界；存在无界线性算子，其逆算子有界。

设X=Y=C[0，1]，Tx（t）=■x（s）ds，（0？燮t？燮1），则T为由X到Y内的有界线性算子，但逆算子T-1y=■y（t）是定义在C1[0，1]？奂Y上的无界线性算子。

设X=l，‖x‖=■？孜■，Y=l，‖x‖=■？孜■，其中x={？孜■}∈l，令Tx=x，则T为由X到Y上的一对一的线性算子。其逆算子T-1满足不等式：‖T-1x‖=■？孜■？燮‖x‖，因此T-1是有界的。另一方面，取xn=（1，1，…，1，0，0，…）∈X，则‖xn‖=1，而‖Txn‖=n，可见T是无界的。

泛函分析是一门极其严密的科学，它有自己独特的思维方式和逻辑推理体系[6]，在学习中，让学生掌握严密的逻辑推理的同时，应该鼓励学生多去举反例，这才能更深刻掌握基本理论知识，多层面多角度观察思考问题，提高其数学修养与培养科学研究能力。

但在教学中，举反例重在说明结构、辩清是非，将其最为教学的辅助手段，反例既要易懂又要能够说明问题，使学生对教学内容有个较为直观的认识，这不仅能提高教学质量，收到良好教学效果，而且也可以培养学生逐步形成正确的分析思维观念和思

维方式。