学年论文一阶常微分方程的初等解法

2.一阶微分方程的初等解法

微分方程的一个主要的问题就是“求解”，即把微分方程的解通过初等函数或它们的积分表达出来。但一般的微分方程无法求解，只能是对某些类型通过相应的方法求解。这里详细介绍几种方法。

2.1变量分离微分方程

形如

dy?f(x)?(y) （1） dx的方程，称为变量分离方程，f(x)，?(y)分别是x，y的连续函数，这是一类最简单的一阶函数。

如果?(y)?0，我们可将（1）改写成了。两边积分，得到

dy?f(x)dx，这样，变量就“分离”开来?(y)dy??(y)??f(x)dx?c （2）

1dyf(x)dx这里我们把积分常数c明确写出来，而把?，分别理解为，f(x)的

?(y)??(y)原函数。常数c的取值必须保证（2）有意义。

dyy?? 例1 求解方程dxx 解 将变量分离，得到

ydy??xdx 两边积分，即得

y2x2c??? 222 因而，通解为x2?y2?c

这里c是任意正常数，或者解出y，写出显函数形式的解

y??c?x2

2.1.1可化为变量分离方程的类型：

一阶线性微分方程

dy?P?x?y?Q?x?， （1） dx其中P?x?，Q?x?在考虑的区间上是x的连续函数，若Q(x)?0，（1）变为

dy?P?x?y， （2） dx称为一阶齐次线性微分方程。若Q(x)?0，（1）称为一阶非齐次线性微分方程。变量分离方程，易求得它的通解为

P?x?dx?y?ce，

这里c是任意常数。 a)齐次微分方程

令u?dyy?g()， dxxydug(u)?u，方程可化为分离变量的方程，。 ?xdxxdya1x?b1y?c1? dxa2x?b2y?c2b)分式线性方程

下面分三种情形来讨论： ⅰ）c1?c2?0，这时

dya1x?b1y? 为齐次方程。 dxa2x?b2ya1ⅱ）

a2b122?0及c1?c2?0，这时可作变换x???h,y???k，其中h,k是线性b2?a1h?b1k?c1?0d?a1??b1??代数方程?的唯一解，可将方程化为齐次方程 。 d?a2??b2??a2h?b2k?c2?0ⅲ）

a1a2b1ab22?0及c1?c2?0，这时可设 1?1??，方程可化为 b2a2b2