2016-2017学年江苏省扬州市高一(下)期末数学试卷

【点评】本题考查了空间线面平行，线面垂直的判定，属于中档题．

17．（14分）已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且a2a3=a5，S4=10S2． （1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn=（2n﹣1）an，求数列{bn}的前n项和Tn．

【分析】（1）正项等比数列{an}的公比设为q，运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，进而得到所求通项；

（2）bn=（2n﹣1）an=（2n﹣1）?3n，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和． 【解答】解：（1）正项等比数列{an}的公比设为q， 由a2a3=a5，S4=10S2，

可得a12q3=a1q4，a1（1+q+q2+q3）=10a1（1+q）， 解得a1=q=3，（q=1舍去）， 则an=a1qn﹣1=3n；

（2）bn=（2n﹣1）an=（2n﹣1）?3n， 前n项和Tn=1?3+3?32+…+（2n﹣1）?3n， 3Tn=1?32+3?33+…+（2n﹣1）?3n+1，

相减可得﹣2Tn=1?3+2?（32+…+3n）﹣（2n﹣1）?3n+1 =3+2?

﹣（2n﹣1）?3n+1，

化简可得Tn=3+（n﹣1）?3n+1．

【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

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18．（16分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足（1）求角A的大小； （2）若a=

，△ABC的面积S△ABC=3

，求b+c的值，；

=．

（3）若函数f（x）=2sinxcos（x+），求f（B）的取值范围．

【分析】（1）利用余弦定理推导出bc=b2+c2﹣a2，从而求出cosA=，进而能求出A． （2）由S△ABC=

=3

，得bc=12，由余弦定理求出b2+c2=25，从而求

出（b+c）2，进而求出b+c的值． （3）由f（x）=2sinxcos（x+

）=sin（2x+

）﹣，A=

，得2B+

∈（

，

），由此能求出f（B）=sin（2B+）﹣的取值范围．

=

，

【解答】解：（1）锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足

∴=，

整理，得bc=b2+c2﹣a2， ∴cosA=∴A=

．

，△ABC的面积S△ABC=3

=3=

，A=

，

=

=，

（2）∵a=∴S△ABC=cosA=

，解得bc=12， =，解得b2+c2=25，

∴（b+c）2=b2+c2+2bc=25+24=49， ∴b+c=7．

（3）∵f（x）=2sinxcos（x+=2sinx（cosxcos

﹣sinxsin

） ）

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===

sinxcosx﹣sin2x sin2x﹣

sin2x+cos2x﹣ sin2x+sin

cos2x﹣

=cos

=sin（2x+∵A=

）﹣，

），∴2B+

∈（

，

），

，∴锐角△ABC中，B∈（0，

）﹣，

f（B）=sin（2B+当2B+当2B+

==

时，f（B）max=1﹣=， 时，f（B）min=﹣

﹣=﹣，）．

﹣．

∴f（B）的取值范围是（﹣

【点评】本题考查三角形中角的求法，两角和的取值范围及三角函数的取值范围的求法，考查余弦定理、正弦定理、三角形面积、三角函数二倍角公式、余弦加法定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

19．（16分）水培植物需要一种植物专用营养液．已知每投放a（1≤a≤4且a∈R）个单位的营养液，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化

的函数关系式近似为y=af（x），其中f（x）=，若多次投放，则

某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于4（克/升）时，它才能有效． （1）若只投放一次4个单位的营养液，则有效时间可能达几天？

（2）若先投放2个单位的营养液，3天后投放b个单位的营养液．要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，试求b的最小值．

【分析】（1）营养液有效则需满足y≥4，由分段函数，对x讨论，解不等式即可得到结论；

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（2）设第二次投放营养液的持续时间为x天，则此时第一次投放营养液的持续时间为（x+3）天，且0≤x≤2；设y1为第一次投放营养液的浓度，y2为第二次投放营养液的浓度，y为水中的营养液的浓度；可得y1=2[5﹣（x+3）]=4﹣2x，y2=b?

，y=y1+y2=4﹣2x+b?

≥4在[0，2]上恒成立，运用参数分离和换元

法，结合基本不等式，即可得到b的最小值． 【解答】解：（1）营养液有效则需满足y≥4，则即为0≤x≤2或2＜x≤4， 解得0≤x≤4，

所以营养液有效时间可达4天；

（2）设第二次投放营养液的持续时间为x天，

则此时第一次投放营养液的持续时间为（x+3）天，且0≤x≤2； 设y1为第一次投放营养液的浓度，y2为第二次投放营养液的浓度， y为水中的营养液的浓度； ∴y1=2[5﹣（x+3）]=4﹣2x，y2=b?y=y1+y2=4﹣2x+b?∴b≥2x?

，

或

，

≥4在[0，2]上恒成立，

在[0，2]上恒成立

）+24，

，

令t=4+x，t∈[4，6]，则b≥﹣2（t+又﹣2（t+当且仅当t=

）+24≤24﹣2?2，即t=4

=24﹣16

时，取等号； ．

．

所以b的最小值为24﹣16

答：要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，b的最小值为24﹣16

【点评】本题考查函数模型在实际问题中的运用，考查函数的最值求法，注意运用基本不等式，考查运算能力，属于中档题．

20．（16分）已知数列{an}满足：对于任意n∈N*且n≥2时，an+λan﹣1=2n+1，a1=4． （1）若

，求证：{an﹣3n}为等比数列；

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