2016-2017学年江苏省扬州市高一(下)期末数学试卷

【点评】本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

12．（5分）如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得∠NAM=60°，∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°；已知山高BC=300米，则山高MN= 450 米．

【分析】求出AC，在△AMC中用正弦定理求出AM，再计算MN． 【解答】解：在Rt△ABC中，∵BC=300，∠CAB=45°， ∴AC=300

，

在△AMC中，∠AMC=180°﹣75°﹣60°=45°，

由正弦定理得：，∴AM===300，

∴MN=AM?sin∠MAN=300故答案为：450．

=450．

【点评】本题考查了解三角形的实际应用，正弦定理的应用，属于基础题．

13．（5分）在数列{an}中，a1+2a2++22a3+…2n﹣1an=（n?2n﹣2n+1）t对任意n∈N*成立，其中常数t＞0．若关于n的不等式

+

+

+…+） ．

＞

的解集为{n|n

≥4，n∈N*}，则实数m的取值范围是 [，

【分析】由已知等式，再写一式，两式相减，即可证明数列{an}的通项；关于n的不等式

+

+

+…+

＞

化简为

．已知t＞0，结合函数

第9页（共18页）

的单调性，即可求b和c的取值范围．

【解答】解：当n≥2时，a1+2a2++22a3+…2n﹣1an=（n?2n﹣2n+1）t…① 得a1+2a2++22a3+…2n﹣2an﹣1=[（n﹣1）?2n﹣1﹣2n﹣1+1）t…②

将①，②两式相减，得 2n﹣1 an=（n?2n﹣2n+1）t﹣[（n﹣1）?2n﹣1﹣2n﹣1+1]t， 化简，得an=nt，其中n≥2．…（5分） 因为a1=t，所以an=nt，其中n∈N*． ∴

．

∴+++…+==

又∵，则关于n的不等式+++…+＞化简为．

当t＞0时，考察不等式为由题意，知不等式1﹣因为函数y=1﹣∴

．

．的解，

＞m的解集为{n|n≥4，n∈N*}，

且1﹣

≤m即可，

在R上单调递增，所以只要求1﹣

所以，实数m的取值范围是[故答案为：[

）．

）．

【点评】本题考查数列与不等式的综合，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

14．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2+b2+4ab=4，则

的最小值是 +2 ．

=c2，

【分析】由已知利用余弦定理可求cosC，结合范围C∈（0，π），可求C的值，可得B=

﹣A，利用三角函数恒等变换的应用，基本不等式可求tan2Acos2A=3

）≤3﹣2

，即可得解．

第10页（共18页）

﹣（2cos2A+

【解答】解：∵a2+b2+4∴cosC=∵C∈（0，π）， ∴C=

，B=

﹣A， =

=c2，ab=4， =﹣

，

∵tan2Acos2A=3﹣（2cos2A+

）≤3﹣2，

∴=

+2，当且仅当2cos2A=

≥，

=+2，则的最小值是

故答案为：+2．

【点评】本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（14分）已知：sin（α+（1）求tanα的值； （2）若tan（

﹣β）=，求tan（α+β）的值．

）+2sin（α﹣

）=0．

【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式展开得到； （2）由（1）得到tan（

），tan（α+β）=tan[（α+

）﹣（

﹣β）]，利

用两角差的正切公式得到所求． 【解答】解：（1）sin（α+展开整理得，

（2）由（1）得到tan（

）=）+2sin（α﹣

）=0．

，所以tanα=；

=2，又tan（

﹣β）=，

第11页（共18页）

所以tan（α+β）=tan[（α+）﹣（﹣β）]===1．

【点评】本题考查了三角函数式的化简求值；熟练运用两角和与差的正切公式是解答的关键．

16．（14分）已知：三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB⊥AD，E，F分别为BD，AD的中点． （1）求证：EF∥平面ABC；

（2）若CB=CD，求证：AD⊥平面CEF．

【分析】1）由EF∥AB，可得EF∥平面ABC

（2）只需证明CE⊥AD，AD⊥EF，即可得AD⊥平面CEF． 【解答】证：（1）∵E，F分别为BD，AD的中点 ∴EF∥AB

∵EF?平面ABC，AB?平面ABC ∴EF∥平面ABC

（2）∵CB=CD，E为BD的中点 ∴CE⊥DB

∵平面ADB⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，CE?平面BCD， ∴CE⊥平面ABD

∵AD?平面ABD，∴CE⊥AD

∵EF∥AB，AB⊥AD∴AD⊥EF…（11分） ∵CE?平面CEF，EF?平面CEF，CE∩EF=E ∴AD⊥平面CEF．

第12页（共18页）