2019届高考数学二轮复习专题二导数第2讲函数的单调性学案2019021534

。 第2讲 函数的单调性

1. 导数是研究函数性质的重要工具，利用导数研究函数的单调性不仅能直接得出有关结论，同时还能根据性质描绘出函数图象的大致变化趋势，有助于解决问题．

2. 函数的单调性研究往往作为试题的一部分，可以研究其单调区间，也可以通过单调性来求参数的值或者范围．

1. (2017·常州前黄中学月考)函数y＝x－2sin x在(0，2π)内的单调增区间为________．

π5π

答案：(，) 33

π5π

解析：令y′＝1－2cos x＞0，因为x∈(0，2π)，解得x∈(，)．

33

2. (2017·苏州张家港暨阳中学月考)函数f(x)＝xln x的减区间是________．

1

答案：(0，]

e

解析：由题意得函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋ln x，令f′(x)＝1＋ln x≤0，1得x≤，

e

1

故函数f(x)的减区间为(0，]．

e

3. 若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是________． 答案：[1，＋∞)

11

解析：依题意得f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥在(1，＋∞)上恒成

xx1

立．∵ x>1，∴ 0<<1，∴ k≥1.

x121

4. (2018·九江模拟)已知函数f(x)＝x＋2ax－ln x，若f(x)在区间[，2]上是增函

23

数，则实数a的取值范围是________．

?4?答案：?，＋∞? ?3?

11?1??1?解析：f′(x)＝x＋2a－≥0在?，2?上恒成立，即2a≥－x＋在?，2?上恒成立．因xx?3??3?

1?884?为?－x＋?＝，所以2a≥，即a≥. x?max333?

, 一) 求不含参数的函数的单调性

, 1) (2018·常熟中学月考)已知函数f(x)＝ln x－bx＋c，f(x)在点(1，

f(1))处的切线方程为x＋y＋4＝0.

(1) 求f(x)的解析式； (2) 求f(x)的单调区间．

1

解：(1) f′(x)＝－b，所以f′(1)＝1－b.

x 1

又f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－1， 故1－b＝－1，b＝2.

将(1，f(1))代入方程x＋y＋4＝0，得1＋f(1)＋4＝0， 解得f(1)＝－5，

所以f(1)＝－b＋c＝－5，将b＝2代入，得c＝－3，故f(x)＝ln x－2x－3.

1

(2) 依题意知x＞0，f′(x)＝－2.

x11

令f′(x)＞0，得0＜x＜，再令f′(x)＜0，得x>，

22

?1??1?故函数f(x)的单调递增区间为?0，?，单调递减区间为 ?，＋∞?. ?2??2?

点评：利用导数求函数单调区间的步骤：(1) 确定函数f(x)的定义域；(2) 求导数f′(x)；(3) 由f′(x)＞0(或＜0)解出相应的x的取值范围．当f′(x)＞0时，f(x)在相应的区间内是单调递增函数；当f′(x)＜0时，f(x)在相应的区间内是单调递减函数. 一般需要通过列表，写出函数的单调区间．

xa3

已知函数f(x)＝＋－ln x－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线

4x21

垂直于直线y＝x.

2

(1) 求a的值；

(2) 求函数f(x)的单调区间．

1a1

解：(1) 对f(x)求导，得f′(x)＝－2－(x>0)，

4xx1

由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x，

2

35

知f′(1)＝－－a＝－2，解得a＝.

44

x53

(2) 由(1)知f(x)＝＋－ln x－，

44x2

2

x－4x－5

则f′(x)＝， 24x令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.

因为x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x∈(0，5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0，5)内为减函数；

当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)内为增函数．

, 二) 讨论函数的单调性

1a32

(1) 若a>0，求函数f(x)的单调区间；

(2) 设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．

2

解：(1) 由已知得f′(x)＝x－ax＝x(x－a)(a>0)． 当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0； 当x∈(0，a)时，f′(x)<0； 当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0.

所以函数f(x)的单调增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)，单调减区间为(0，a)．

2

(2) g′(x)＝x－ax＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)，

2

使不等式g′(x)＝x－ax＋2<0成立，

, 2) 设函数f(x)＝x3－x2＋1.

2

2

即x∈(－2，－1)时，a<(x＋)max＝－22，

x

2

当且仅当x＝，即x＝－2时等号成立．

x所以满足要求的实数a的取值范围是(－∞，－22)．

设函数f(x)＝ax－a－ln x，其中a∈R，讨论f(x)的单调性．

2

12ax－1

解：由题意得f′(x)＝2ax－＝(x>0)．

2

xx当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；

1

当a>0时，由f′(x)＝0得x＝，

2a1

当x∈(0，)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；

2a1

当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．

2a, 三) 利用函数的单调性求参数

, 3) 已知函数f(x)＝x2＋(a－3)x＋ln x．若函数f(x)是定义域上的单

调函数，求实数a的最小值．

1

解：f′(x)＝x＋a－3＋(x>0)．若函数f(x)在(0，＋∞)上递增，则f′(x)≥0对x>0

12

x11

恒成立，即a≥－(x＋)＋3对x>0恒成立，而当x>0时，－(x＋)＋3≤－2＋3＝1，所以

xxa≥1.若函数f(x)在(0，＋∞)上递减，则f′(x)≤0对x>0恒成立，即a≤－(x＋)＋3对

xx>0恒成立，这是不可能的．综上，a≥1.故a的最小值为1.

点评：已知单调性求解参数范围的步骤：(1) 对含参数的函数f(x)求导，得到f′(x)；(2) 若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f′(x)≤0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；(3) 验证参数范围中取等号时，是否恒有f′(x)＝0.若f′(x)＝0恒成立，则函数f(x)在(a，b)上为常数函数，

要舍去此参数值．

(2018·武汉调研)已知函数f(x)＝xln x.

2

(1) 若函数g(x)＝f(x)＋ax在区间[e，＋∞)上为增函数，求a的取值范围；

2

－x＋mx－3

(2) 若对任意x∈(0，＋∞)，f(x)≥恒成立，求实数m的最大值．

2

解：(1) 由题意得g′(x)＝f′(x)＋a＝ln x＋a＋1.

2

∵ 函数g(x)在区间[e，＋∞)上为增函数，

2

∴ 当x∈[e，＋∞)时，g′(x)≥0，

2

即ln x＋a＋1≥0在[e，＋∞)上恒成立． ∴ a≥－1－ln x.

令h(x)＝－ln x－1，∴ a≥h(x)max，

2

当x∈[e，＋∞)时，ln x∈[2，＋∞)， ∴ h(x)∈(－∞，－3]，∴ a≥－3， 即a的取值范围是[－3，＋∞)．

2

(2) ∵ 2f(x)≥－x＋mx－3，

2

即mx≤2xln x＋x＋3，

1

3

2xlnx＋x＋3

又x＞0，∴ m≤在x∈(0，＋∞)上恒成立．

2

x2xlnx＋x＋33记t(x)＝＝2ln x＋x＋.

2

xx∴ m≤t(x)min.

2

23x＋2x－3（x＋3）（x－1）

t′(x)＝＋1－2＝＝， 22

xxxx令t′(x)＝0，得x＝1或x＝－3(舍去)．

当x∈(0，1)时，t′(x)＜0，函数t(x)在(0，1)上单调递减；

当x∈(1，＋∞)时，t′(x)＞0，函数t(x)在(1，＋∞)上单调递增． ∴ t(x)min＝t(1)＝4.

∴ m≤t(x)min＝4，即m的最大值为4.

, 四) 利用单调性解综合问题

, 4) 已知函数f(x)＝ln x－ax2＋(1－a)x，其中a∈R，f′(x)是f(x)

的导数．

(1) 讨论f(x)的单调性；

(2) 在曲线y＝f(x)的图象上是否存在两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)使得直线ABx1＋x2

的斜率k＝f′()？若存在，求出x1与x2的关系；若不存在，请说明理由．

2

2

1－ax＋（1－a）x＋1

解：(1) 由已知得f′(x)＝－ax＋(1－a)＝(x>0)．

1

2

xx当a≤0时，因为x>0，所以f′(x)>0，f(x)在定义域(0，＋∞)上是增函数；

1

－a（x－）（x＋1）

a－ax＋（1－a）x＋1

当a>0时，f′(x)＝＝，

2

xx111

所以当x∈(0，)时，f′(x)>0，f(x)在(0，)上单调递增，当x∈(，＋∞)时，f′

aaa1

(x)<0，f(x)在(，＋∞)上单调递减．

a(2) 由题意，得k＝

y1－y2

＝ x1－x2

a2

[ln x1－x1＋（1－a）x1]－[ln x2－x2＋（1－a）x2]

22

x1－x2ln－（x1－x2）＋（1－a）（x1－x2）x22＝

x1－x2

a2

x1a22

x1

x2a＝－(x1＋x2)＋(1－a)， x1－x22x1＋x22af′()＝－(x1＋x2)＋(1－a)．

2x1＋x22

x1lnx2x1＋x22

由k＝f′()，得＝，

2x1－x2x1＋x2

x12（x1－x2）即ln＝，

x2x1＋x2

ln

4