北京市丰台区2020届高三数学一模试题及答案

丰台区2019—2020学年度第二学期综合练习（一）

高三数学 2020.04 第一部分 （选择题 共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

21．若集合A?{x?Z|?1?x?2}，B?{xx?2x?0}，则AUB?

（A）{0} （B）{0，1} （C）{0，1，2} （D）{?1，0，1，2}

2． 已知向量a?(x,2),b?(?2,1)，满足a ‖b，则x?

（A）1 3． 若复数z满足

（B）?1

（C）4

（D）?4

z?i，则z对应的点位于 1?i（B）第二象限

（C）第三象限

（D）第四象限

（A）第一象限

4． 圆(x?1)2?y2?2的圆心到直线x?y?1?0的距离为

（A）2

1312（B）2

（C）1

（D）

22

5． 已知a?2，b?3，c?log3（A）a?b?c 6． “a?1”是“

1，则 2（B）a?c?b

（C）b?a?c （D） b?c?a

1?1”成立的 a（B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件

（A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件

7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积等于3的有

3

3（A）1个 （C）3个

（B）2个 （D）4个

主视图2左视图2俯视图8. 过抛物线C：y2?2px(p?0)的焦点F作倾斜角为60°的直线与抛物线C交于两个不同的点A，B （点A在x轴上方），则

AFBF的值为

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1（A）

3（B）

4 3π2（C）3

（D）3

9. 将函数f(x)?sin?x(??0)的图象向左平移

法错误的是 ．．

（A）g(x)为偶函数

个单位长度后得到函数g(x)的图象，且g(0)?1，下列说

π（B）g(?)?0

2π（C）当??5时，g(x)在[0,]上有3个零点

2π（D）若g(x)在[0,]上单调递减，则?的最大值为9

5?ex?1,x?0,10. 已知函数f(x)?? 若存在非零实数x0，使得f(?x0)?f(x0)成立，则实数k的取值范围是

kx,x?0.?（A）(??,?1)

（B）(??,?1]

（C）(?1,0)

（D）[?1,0)

第二部分 （非选择题 共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11. 设数列?an?的前n项和为Sn，an?2n?1 ，则S5? ． 12. 若x?1，则函数f(x)?x?1x?1的最小值为 ，此时x? ．

13. 已知平面?和三条不同的直线m，n，l.给出下列六个论断：①m??；②m‖?；③m‖l；

④n??；⑤n‖?；⑥n‖l.以其中两个论断作为条件，使得m‖n成立.这两个论断可以是 ．（填上你认为正确的一组序号）

14． 如果对某对象连续实施两次变换后的结果就是变换前的对象，那么我们称这种变换为“回归”变换.

如：对任意一个实数，变换：取其相反数.因为相反数的相反数是它本身，所以变换“取实数的相反数”是一种“回归”变换. 有下列3种变换： ① 对A?R，变换：求集合A的补集； ② 对任意z?C，变换：求z的共轭复数；

③ 对任意x?R，变换：x?kx?b（k，b均为非零实数）. 其中是“回归”变换的是 .

注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.

y2OC所在直线．若椭圆 ?1的渐近线是边长为1的菱形OABC的边OA,15． 已知双曲线M：x?32丰台区高三数学一模考试试题 第2 页/ 共12页

x2y2C两点，且点B是椭圆N的一个焦点，则a? . N：2?2?1(a?b?0)经过A,ab三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16.（本小题共14分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知c?4，A?（Ⅰ）当b?2时，求a；

（Ⅱ）求sinB?3cosC的取值范围.

17.（本小题共14分）

如图，在四棱锥M?ABCD中，AB‖CD，?ADC??BMC?90，

π3.

oMB?MC，AD?DC?12AB?2，平面BCM?平面ABCD.

（Ⅰ）求证：CD‖平面ABM； （Ⅱ）求证：AC?平面BCM；

（Ⅲ）在棱AM上是否存在一点E，使得二面角E?BC?M的大小为

π4？

若存在，求出

AEAM的值；若不存在，请说明理由．

18.（本小题共14分）

在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动.各社区志愿者服务类型有：现场值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询（每个志愿者仅参与一类服务）.参与A，B，C三个社区的志愿者服务情况如下表：

A B C 社区 社区服务总人数 100 120 150 服务类型 现场值班值守 30 40 50 社区消毒 30 35 40 远程教育宣传 心理咨询 20 20 30 20 25 30 （Ⅰ）从上表三个社区的志愿者中任取1人，求此人来自于A社区，并且参与社区消毒工作的概率； （Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取1人调查情况，以X表示负责现场值班值守的人数，求X的分布

列；

（Ⅲ）已知A社区心理咨询满意率为0.85，B社区心理咨询满意率为0.95，C社区心理咨询满意率为0.9，

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“?A?1,?B?1,?C?1”分别表示A，B，C社区的人们对心理咨询满意，“?A?0,?B?0,?C?0”分别表示A，B，C社区的人们对心理咨询不满意，写出方差D(?A)，D(?B)，D(?C)的大小关系.（只需写出结论）

19.（本小题共15分）

已知函数f(x)?(x?a)lnx?x?1.

（Ⅰ）若曲线y?f(x)在点(e,f(e))处的切线斜率为1，求实数a的值； （Ⅱ）当a?0时，求证：f(x)?0；

（Ⅲ）若函数f(x)在区间(1,??)上存在极值点，求实数a的取值范围.

20.（本小题共14分）

2y2x2已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率为，点P(1,0)在椭圆C上，直线y?y0与椭圆C交于

ab2不同的两点A,B.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）直线PA，PB分别交y轴于M,N两点，问：x轴上是否存在点Q，使得?OQN??OQM?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

21.（本小题共14分） 已知有穷数列

?2？

L,ak,L,an(n?N*且n?3).定义数列A的“伴生数列”B：A：a1,a2,b1,b2,L,bk,L,bn，其中

?1，ak?1?ak?1，(k?1,2,K,n)，规定a0?an,an?1?a1. bk??0，a?ak?1?k?1（Ⅰ）写出下列数列的“伴生数列”：

① 1，2，3，4，5； ② 1，?1，1，?1，1.

L,ck,L,cn，且满足bk?ck?1(k?1,2,K,n). （Ⅱ）已知数列B的“伴生数列”C：c1,c2,（i）若数列B中存在相邻两项为1，求证：数列B中的每一项均为1； （ⅱ）求数列C所有项的和.

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