2006年全国中考数学压轴全解1-25

所以点A的纵、横坐标相等，

12x，得a?4，?A(4，，4)?m?4． 4 即当m?4时，四边形ABCD的两条对角线互相垂直． （3）线段CD?2AB．

这时，设A(a，a)，代入y? ?点A在抛物线y?12?1?x，且x?m，?A?m，m2?， 4?4? 得直线AO的解析式为y?mx， 4m?y?x?1???4 解方程组?，得点C??2m，?m2?

2???y??1x2?8? 由对称性得点B??m，m?，D?2m，???142????12?m?， 2?，CD?4m， ?AB?2m ?CD?2AB．

[点评]这是一道以双抛物线为背景的综合题，第1、2小题均较容易，第3小题是一个“猜想”型问题，从图形的直观上我们可以马上猜想到结论CD?2AB，然后再努力去证明自己的猜想，一般都能成功。

49、（广西贵港课改卷）如图，已知直线l的函数表达式为y??x?8，且l与x轴，y轴分

3别交于A，B两点，动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时动点P从A点开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，设点Q，P移动的时间为t秒．

（1）求出点A，B的坐标；

（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？

（3）求出（2）中当△APQ与△AOB相似时，线段PQ所在直线的函数表达式． [解] （1）由y??y B Q 4x?8， 3 令x?0，得y?8； 令y?0，得x?6．

，B的坐标分别是(6，，，0)(08)． ∴A （2）由BO?8，AO?6，得AB?10． 当移动的时间为t时，AP?t，AQ?10?2t．

O P A l x 第13页，共40页

??B，A∴当 ∵?QAPQ △AP∽△ ∴PAQA?时 OABAA Ot10?t2?， 61030 ∴t?（秒）．

11??B，A∴当 ∵?QAPP △AQ∽△ ∴PAAQ?时， ABAOA，O

t10?t2?． 10650 ∴t?（秒）．

133050 ∴t?秒或秒，经检验，它们都符合题意，此时△AQP与△AOB相似．

111330 （3）当t?秒时，PQ∥OB， PQ⊥OA，

11 PA?3036?36?，∴OP?，∴P?，0?． 1111?11?36． 11 ∴线段PQ所在直线的函数表达式为x? 当t?505010028?28?时，PA?，BQ?，OP?，∴P?，0?． 1313131313??100xBQ60x? 设Q点的坐标为(x，y)，则有，∴?13 ∴x?． OABA136106046024?8? 当x?时，y???，

1331313 ∴Q的坐标为??6024?，?． ?1313? 设PQ的表达式为y?kx?b，

3?28?k?b?0k???321?13?4 则?，∴?，∴PQ的表达式为y?x?．

216024413?k?b??b????1313??13[点评]这是一道以一次函数为背景的动态几何问题，这类压轴题向来是中考的热点问题，第

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2小题要求学生动中求静，将动态问题转化为静态的几何问题，再运用相似的有关知识解决问题，同时要注意分类讨论。 10、（广西钦州卷）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O为原点，E为AB上

，D的坐标分别为一点，把△CBE沿CE折叠，使点B恰好落在OA边上的点D处，点A(5，0)和(3，0)．

（1）求点C的坐标；

（2）求DE所在直线的解析式；

（3）设过点C的抛物线y?2x2?3bx?c(b?0)与直线BC的另一个交点为M，问在该抛物线上是否存在点G，使得△CMG为等边三角形．若存在，求出点G的坐标；若不存

y 在，请说明理由．

M B C [解] （1）根据题意，得CD?CB?OA?5，OD?3，

?∠COD?90?，?OC?CD2?OD2?52?32?4．

E 4)； ?点C的坐标是(0，（2）?AB?OC?4，设AE?x，

则DE?BE?4?x，

AD?OA?OD?5?3?2，

在Rt△DEA中，DE?AD?AE．

222?1 Ｏ ?1 D A 5 x ?(4?x)2?22?x2．

解之，得x?3， 2y C F M G B 即点E的坐标是?5，?．

设DE所在直线的解析式为y?kx?b，

??3?2?E D A 5 x ?1 Ｏ H ?1 ?3k?b?0，???3

5k?b?，??23?k?，??4解之，得?

9?b??．??4?DE所在直线的解析式为y?39x?； 444)在抛物线y?2x2?3bx?c上，?c?4． （3）?点C(0，第15页，共40页

即抛物线为y?2x2?3bx?4．

假设在抛物线y?2x2?3bx?4上存在点G，使得△CMG为等边三角形， 根据抛物线的对称性及等边三角形的性质，得点G一定在该抛物线的顶点上． 设点G的坐标为(m，n)，

4?2?4?(3b)232?3b23b3b，n?， ??m????4?282?24?3b32?3b2?即点G的坐标为????4，8?．

??设对称轴x??3b与直线CB交于点F，与x轴交于点H． 4?3b?4?则点F的坐标为???4，?．

???b?0，?m?0，点G在y轴的右侧，

32?3b23b23b?，FH?4，FG?4?． CF?m??884?CM?CG?2CF??3b， 2222?3b??3b??3b2?222?在Rt△CGF中，CG?CF?FG，???2??????4????8?．

??????(?b?0)． 解之，得b??2．32?3b253b3?． ，n??m???8242?35?． ?点G的坐标为???2，?2???35??在抛物线y?2x?3bx?4(b?0)上存在点G???2，?，使得△CMG为等边三角2??2形．

[点评]这是一道以折叠为背景的综合型压轴题，综合性较强，这类试题在各地中考题中出现的频率不小，本题中第1、2小题只需根据折叠的基本性质结合函数知识即可得解，第3小

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