清华大学讲义-摄象机模型和外极线几何

Pnew=APN

(B.10)

??u?其中，A?0???0?ucot??v/sin?0T

u0??v0 ?1??

T

(B.11)

而归一化坐标(xN,yN)和像素坐标(u,v)满足 ?xN?y?N??1??u???1???Av ???????1?? (B.12)

使用归一化坐标系实际是把摄象机的内外参数分解开来考虑，这样当我们关注于摄象机的外参数变化的情况(例如运动视觉)时就不必考虑使用的是什么样的摄象机。

B.1.4 透视矩阵的一般形式

同时考虑摄象机的内外参数，即建立像素坐标系中点m与三维对应点在世界坐标系中

的坐标值Mw之间的映射关系，我们有

~~?PM smw

t?

(B.13) (B.14)

其中P?APND?A?R其中A，R，t如上两节所述。

透视矩阵P为3*4矩阵，由于可相差一个尺度，因此只有11个独立参量。 记pij为P中i行j列的元素，消去尺度因子s，我们得到

u?p11Xw?p12Yw?p13Zw?p14p31Xw?p32Yw?p33Zw?p34p21Xw?p22Yw?p23Zw?p24p31Xw?p32Yw?p33Zw?p34 (B.15)

v? (B.16)

上两式可用于标定摄象机。如果有六个以上的像点和三维点的对应就可求出P，然后从P中分解出内外参数。这方面的内容就不详述了。

根据P我们还可以求出焦心C在世界坐标系中的坐标。令P=[B b]，其中B为3*3矩阵，~b为三维列向量。显然有PCw?0，即?B?Cw?b????0，故 ?1?Cw=?B?1b (B.17)

根据P和一个像点m我们可以得到空间中的一条射线，该射线由焦心和m决定，并且

~)，其中?为任一其上的所有点都透视投影为m。这条射线的参数方程为M?B(?b??m?1正实数。

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B.2 透视投影的各种线性近似

从上节的讨论可以知道，透视投影实际是一个非线性映射。这在实际求解时可能需要大的计算量；更重要的是，如果透视效果并不明显，直接使用该模型可能会使实际问题称为病态问题。另外，在某些条件下，例如，摄象机的视场很小，并且物体的尺寸相对于到观察者的距离也很小，透视模型可以很好地用线性模型近似。这种近似可大大简化推导和计算。 为简单起见，如果不作特别说明的话，下面的讨论都认为像点用其归一化坐标表示，三维点用其在摄象机坐标系中的坐标表示。

B.2.1 正投影（orthographic projection）

最简单的线性近似称为正投影。这种近似完全忽略了深度信息。在这种投影方式下，物体到摄象机的垂直距离（深度信息）和物体到光轴的距离（位置信息）都完全丢失了。因此，它只在这两种信息确实可以忽略时才可使用。

正投影的公式为x=X, y=Y。

B.2.2 弱透视（weak perspective）

如果物体的尺寸相对其到摄象机的距离很小的话，物体上各点的深度可以用一共同的深度值Z0近似，这个值一般取物体质心的深度。这样透视模型可近似为

x?y?XZ0YZ0 (B.18)

这种近似可以看作两阶段投影的合成。第一步，整个物体按平行于光轴的方向正投影到经过物体质心并与图象平面平行的平面上；第二步，再按透视模型投影到图象平面上，这一步实际是全局的放缩。因此，弱透视也被称为放缩正投影（scaled orthographic projection）。

?1??0???00100000??0 ?Z0??令Pwp (B.19)

则弱透视模型可写成与透视投影类似的形式 ?x???sy?Pwp????1???X?Y??Z??1???。将摄象机的内外参数都考虑进来，我们有 ???~~?APDMsmwpw，其中s为一比例因子，A和D如上节定义。消去比例因子，我们看

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到二维点和三维点的对应关系确实是线性的。

下面我们来推导这种近似带来的误差。现在我们又回到归一化坐标系和摄象机坐标系。设三维点M的真正深度值为Z=Z0+?Z。该点按透视模型投影为mp，而弱透视的结果为mwp，我们用泰勒公式把Z在Z0处展开并略去高阶项，得到两者的差merror为 merror?m?mwp?X?1?X?1??Z?1??Z???????????ZZ0??Z?Y?Z0?Y?Z0?Z0?0?12??X??1?X??????????????Y?Z0?Y????p?Z??Z?1??Z?????2?ZZ0Z0??0?2??X???X??Z11?Z?X????????????????2???Y??Z?Y?ZZ0?Y?Z0??1??Z0

我们可以看到有两种原因带来误差，一是

?ZZ0?X?，即物体的深度信息；二是??，即位

?Y?置信息。误差对物体的不同部分是不同的。在实际应用中为使用弱透视模型，一般要求Z0>10*|?Z|。

B.2.3 平行透视（paraperspective projection）

在弱透视投影中，三维点先被正投影到过物体质心并与图象平面平行的平面上。这一过程中丢失了物体的位置信息。如果物体离光轴较远，弱透视带来的误差是很大的。在平行透视中，投影过程仍可分为两步，第一步仍是把物体平行投影到过质心且与象平面平行的平面上，不过这次的投影线不是平行于光轴，而是平行于质心G和焦心C的连线CG。

容易得到平行透视的公式为

x??X1??X?0Z?X0??Z0?Z0?????? (B.20)

Y1??Y?0Z?Y0y?Z0?Z0?其中(X0,Y0,Z0)为质心的三维坐标。

为将该模型写成与透视投影类似的形式，我们令

??1???0??0??010??X0Z0Y0Z00?X0??Y0? ?Z0???Ppp (B.21)

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?X?x??Y??则sy?Ppp????Z??1????1???。即使考虑了摄象机的内外参数，二维点与三维点间的对应关系也???仍是线性的。

最后我们也来看看平行透视引入的误差。令(X,Y,Z)T=(X0+?X,Y0+?Y,Z0+?Z)T，我们用与上节类似的方法得到

?X??X??X?0?11?????Z0??Z?Y0??Y?Z0?Y???????2X0merror?mp?mpp?Z?X0?Z0?Y0Z?Y0??Z0?1??Z?1??Z????Z0?Z0??Z0????X??X??X?10??????????Y0??Y??Z0?Y???????Z??O???Z??023???????3???Z????O??Z???0??X0?Z?X0?Z0?

Y0Z?Y0??Z0???X?ZX??Z????2Z0?Z0??Z0??????Y?Z?Y??Z2?Z?ZZ0?00?????2可以看到，像点误差是三维点误差的二阶无穷小。而在弱透视的情况下，像点误差是三维点误差的一阶无穷小。这说明，平行透视确实是比弱透视更好的近似。

图B.4是各种线性近似和透视模型的比较。从图中可看到，各模型的近似程度和我们前面的分析是一致的。

图B.4 透视模型及其各种线性近似的比较

图中xorth、xwp、xpp和xp分别是物体上的三维点M在正投影、弱透视、平行透视和透视投

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