当前位置：首页 > 清华大学讲义-摄象机模型和外极线几何
附录B 摄象机模型和外极线几何
B.1 摄象机模型
B.1.1 针孔模型和透视投影 B.1.2 摄象机外参数
B.1.3 摄象机内参数和归一化摄象机 B.1.4 透视矩阵的一般形式 B.2 透视投影的各种线性近似
B.2.1 正投影（orthographic projection） B.2.2 弱透视（weak perspective）
B.2.3 平行透视（paraperspective projection） B.2.4 仿射摄象机
B.3 透视投影下的外极线几何 B.3.1 外极线几何中的概念
B.3.2 归一化坐标系中的外极线方程 B.3.3 像素坐标系中的外极线方程 B.3.4 投影矩阵下的外极线方程 B.3.5 基础矩阵和外极几何变换
B.1 摄象机模型
在大部分应用环境中可以用理想的针孔模型来近似实际摄象机。针孔模型的几何关系就是透视投影。下面我们先介绍透视投影的几何关系。
B.1.1 针孔模型和透视投影
针孔摄象机的模型在第五章中已有介绍。在那里我们使用了矢量代数的表示方法，下面我们用坐标变换的方法来推导之。
我们定义的第一个坐标系是摄象机坐标系。该坐标系的原点在焦心C，X、Y、Z轴由’’’’
A、H和V决定，其中A为光轴方向，H和V是正交的方向，三者组成右手直角坐标系。三维点在该坐标系中的坐标Mc记为(Xc,Yc,Zc)T。
为表示透视模型我们还需要在图象平面中建立图象坐标系。这是一个二维坐标系，其原点位于光轴和图象平面的交点c（称为主点，principal point），两坐标轴与H’和V’平行且反向。在该坐标系中像点m的坐标表示为(u,v)T。
在定义了这两个坐标系后，投影模型可表示为
uXc?vYc?fZc (B.1)
其中f为焦心到图象平面的距离，即焦距。 摄象机坐标系和图象坐标系如图B.1所示。
224
图B.1 针孔模型，其中过焦心C和图象平面平行的平面称为焦平面
在实际应用中物体离焦心的距离一般都远大于焦距。因此我们常在光轴上和实际图象平面关于焦心对称的位置上设置一个虚拟图象平面，如图B.2。并在该虚拟平面上建立二维坐标系。原点在光轴和该平面的交点，两坐标轴与H和V平行并且方向相同。把像平面上的点经焦心作中心对称映射到该虚拟平面上。这样该平面上点的二维坐标与三维点的摄象机坐标系坐标同样满足上面的投影模型。以后我们一般把此虚拟平面称为像平面。
’
’
图B.2 使用虚拟图象平面的针孔模型
x表示x的齐次坐标。它由x的所有分量加上一个对任一坐标值x=(x1,x2,…)，我们用~T
x?(x,1)。 为1的元素生成，即~TT在投影模型中如果我们使用m点的齐次坐标(U,V,S)T，则有
225
?U??V?S???f?????0??0??0f0001?0????0???0????Xc??Yc? ?Zc?1?? (B.2)
?f?其中U,V,S满足S?0且u=U/S，v=V/S。另外，我们用Pc表示3*4矩阵0???00f00010??0，?0??则上式可写成线性形式
~~?PMsmcc (B.3)
其中s=S为一比例因子。
B.1.2 摄象机外参数
上面的讨论都是在摄象机坐标系(C,Xc,Yc,Zc)中进行的，不过在实际应用中，摄象机的位置和方向并不总是固定不变的，因此我们需要用固定的世界坐标系(O,X,Y,Z)来表示三维点。记Pc在世界坐标系中的坐标为M=(X,Y,Z)T，则两坐标系的关系可用Mc=RM+t来表示，R是旋转矩阵，它表示摄象机的方向；t则与摄象机的位置有关，它实际是世界坐标系原点在摄象机坐标系中的坐标。这两者被称为摄象机的外参数。
如果我们使用齐次坐标，上面的坐标系间的关系可写成
~~Mc?DM (B.4)
?R其中D??T?03t?T?，03=[0,0,0] 1? (B.5)
结合(B.3)和(B.4)式，我们有
~~~~?PMsmcc?PcDM?PM (B.6)
其中P=PcD为世界坐标系中的投影矩阵。
B.1.3 摄象机内参数和归一化摄象机
下面我们考虑图象平面上的坐标变换。它在实际应用中十分重要，这是因为： ? 像素坐标系的原点不一定与光轴和图象平面的交点（即主点）重合； ? ?
像素坐标系中两坐标轴的单位由实际设备的采样率决定，它们不一定相同； 像素坐标系中两坐标轴不一定成直角。
为了处理这些问题，我们需要建立图象坐标系和像素坐标系间的仿射变换关系。如图B.3所示，(c,x,y)是上一节介绍的图象坐标系。它是直角坐标系，并且两个轴向上的单位相
226
同。(o,u,v)则是像素坐标系，其原点常位于图象的左上角而不是主点c，像素也常常不是方的。设ku、kv是u,v轴上的单位在图象坐标系中的度量值，?是u,v两轴的夹角，(u0,v0)是c在像素坐标系中的坐标。这五个参数就是摄象机的内参数。
图B.3 摄象机的内参数，图象平面上的坐标变换
令mold=[x,y]为图象坐标系中的坐标值，mnew=[u,v]则是像素坐标。显然有
~~m?Hmnewold，
T
T
?ku?其中H?0???0kucot?kv/sin?0u0?~?~v0。另外，根据(B.3)式，我们有sm，代入上式，?PMoldoldc?1??得
~~~ sm?HPM?PMnewoldcnewc?f??H0???00f00010??fku??0?0??0????0fkucot?fkv/sin?0u0v010??0 (B.7) ?0??其中Pnew?HPold Pnew即像素坐标表示的投影矩阵。从中我们可以看到真正起作用的是?u=fku和?v=fkv，即焦距的变化和像素尺度的变化在最终的图象上是不可区分的。
在实际应用中为简化公式，我们常常使用所谓的归一化坐标系。该坐标系也是定义在图象平面上的二维坐标系，如果用该坐标系表示图象平面上的点，则投影矩阵PN有非常简单?1?的形式PN?0???00100010??0 ?0?? (B.8)
对摄象机坐标系中的点(Xc,Yc,Zc)，其像点的归一化坐标(xN,yN)满足 xN=Xc/Zc, yN=Yc/Zc
根据PN和Pnew的定义，我们可以看到PN和Pnew满足
227
(B.9)
本文作者：...共分享92篇相关文档
