湖南省张家界市2019-2020学年高考数学模拟试题含解析

rn设平面PBC的法向量为?(x,y,z)，

vruuu??n?PB?0?2x?3y?z?0v∴?ruuu，即?．

??n?PC?0?3y?z?0令y?1，则x?3，z?r3，可得平面PBC的一个法向量为n?(3,1,3)．

又平面APC的一个法向量为m?(1,0,0)，

rrrm?n21rr∴cos?m,n??r， ?r|m|?|n|7∴二面角A?PC?B的余弦值为【点睛】

此题考查线面平行，建系通过坐标求二面角等知识点，属于一般性题目.

23．如图，已知平面QBC与直线PA均垂直于Rt?ABC所在平面，且PA?AB?AC．

21． 7

（1）求证：PA//平面QBC；

（2）若PQ?平面QBC，求CQ与平面PBC所成角的正弦值.

【答案】（1）见解析；（2）【解析】 【分析】 【详解】

2 3（Ⅰ）证明：过点Q作QD?BC于点D，

∵平面QBC⊥平面ABC，∴QD?平面ABC 又∵PA⊥平面ABC ∴QD∥PA, 又∵QD?平面QBC ∴PA∥平面QBC

（Ⅱ）∵PQ?平面QBC∴?PQB??PQC?90，又∵PB?PC,PQ?PQ∴?PQB≌?PQC∴BQ?CQ ∴点D是BC的中点，连结AD，则AD?BC ∴AD?平面QBC∴PQ∥AD，AD?QD ∴四边形PADQ是矩形

设PA?AB?AC?2a，得：PQ?AD?o2a，PD?6a

又∵BC?PA,BC?PQ，∴BC?平面PADQ，

从而平面PBC?平面PADQ，过Q作QH?PD于点H，则QH?平面PBC ∴?QCH是CQ与平面PBC所成角

∴QH?2?2a23?a，CQ?BQ?6a

36QH2312 ???CQ3362 3sin?QCH?∴CQ与平面PBC所成角的正弦值为

考点：面面垂直的性质定理；线面平行的判定定理；线面垂直的性质定理；直线与平面所成的角． 点评：本题主要考查了线面平行的证明和直线与平面所成的角，属立体几何中的常考题型，较难．本题也可以用向量法来做：用向量法解题的关键是；首先正确的建立空间直角坐标系，正确求解平面的一个法向量．注意计算要仔细、认真．≌