数学解题理论的研究与实践 - 图文

或N?210?7?6?5?6?(6?1)(6?1)?63?6

可知，只要能给这两个数据以组合解释，便可以得出新的解法.

解法2 （间接法）3名教师每人都有到“6所学校”的6种去法，得63种去法，但3名教师到1所学校与“每校至多2人”矛盾，故得不同的分配方案共有

N?63?6种.

解法3 （对应解法）把“至多分有2人”的那所学校看成2所学校，每校分1人，则问题转化为“从7所学校取3所，接收3名教师”的方案数，这是标

3?210种. 准的排列问题，得N?A7例2 用数学归纳法证明不等式Sn?讲解 当n?1时，S1?111?2????n?1. 2221?1，命题成立. 2假设当n?k时命题成立，即

111?2????k?1， 22211111则Sk?1??2????k?k?1?1?k?1，

22222Sk?无法由此推出n?k?1时不等式成立.

这么简单的不等式，数学归纳法真的就无能为力了吗？到底是方法本身的“功力不足”，还是我们“使用不当”.

经分析，递推受阻是Sk?1,Sk之间的递推关系“使用不当”，其实Sk?1,Sk之间的递推关系不唯一，可以是Sk?1?Sk?an?1，也可以是Sk?1?a1?qSk，用这个递推关系，可以顺利推出n?k?1时不等式成立：

假设当n?k时命题成立，即

111?2????k?1， 2221111则Sk?1??2????k?k?1

222211111 ??（?2????k）

2222211 ???1

22Sk?命题当n?k?1时不等式成立.由数学归纳法命题得证.

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如果把Sk?1?a1?qSk?11则可以有下面的证法，?Sk改写成2Sk?1?1?Sk，

22千万别以为上述处理是“通理通法”，下面处理是“特殊技巧”，把同一想法的两种写法对立起来是认识的自我封闭.

当n?1时，S1?1?1，命题成立. 2假设当n?k时命题成立，即

Sk?111?2????k?1， 222两边加上1，得

1?111?2????k?2， 222111?2????k?1?1. 222两边除以2得

Sk?1?说明 这两个例子显示了知识对于寻找解题思路与改进解题过程的基础作用.解题基本功的大小首先取决于知识的多寡，深浅和完善程度，没有知识谈不上解题.“无知是智慧的黑夜，是没有月亮、没有星星的黑夜”，“智慧不是别的，而是组织得良好的知识”.

2.思维能力

解题能力，表现在发现问题、分析问题、解决问题的敏锐性、洞察力与整体把握.其中主要成分是3种基本数学能力：运算能力、逻辑思维能力（推理与论证、归纳与概括）、空间想象能力，核心是掌握正确的思维方法，包括逻辑思维与非逻辑思维.其基本要求包括：

（1）熟悉基本的逻辑方法. （2）掌握科学的解题程序.

（3）掌握数学中各种常用的思维方法，如观察、试验、归纳、演绎、类比、猜想、分析、综合、抽象、概括等.

（4）掌握解题的基本策略，能“因题制宜”地选择对口的解题思路、使用有效的解题方法、调动精明的解题技巧.

（5）具有敏锐的直觉. 应该明白，我们的数学解题活动是在纵横交错的数学关系中进行的，在这个过程中，我们从一种可能性过渡到另一种可能性时，并非对每一个数学细节都洞察无遗，并非总能借助于“三段论”的桥梁，而是在短

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时间内朦胧地插上幻想的翅膀，直接飞翔到最近的可能性上，从而达到对某种数学对象的本质领悟.

例3 （多项选择题）这里有4张牌，每张牌的一面都写上一个数字，另一面都写上一个英文字母.现在规定：当牌的一面为字母R时，它的另一面必须写数字2.你的任务是：为检验下面的4张牌是否有违反规定的写法，你翻看那些牌就够了？

R T 2 7

A B C D

答案：应翻看A,D.

例4 解不等式：

(x?1)x2?x?2?0. 误解1 由x2?x?2?0, 必有 x?1?0, 解得 x?1.

1 ○2 ○3 ○4 ○

误解2 看出上面的解法没有考虑“在定义域(??,?1]?[2,??)上求解”，故联

2、○4，解得x?2. 立○

说明 本例涉及的知识不多，解方程或解不等式都不难，但类似的错误很普遍，复杂在逻辑关系上.

1、○2“不能推出”○3.仅当x2?x?2?0时，才能够由○1两边除（1）由○

3；4既不纯粹以x2?x?2推出○当x2?x?2?0时，x?1可取全体实数.所以○

又不完备，既有增根又有减根：取x?1. 5?1，在解集内，但是根号下的被开方数小于零，是增根；再取x??1?1，不在解集内，确实不等式的解，又减根.

(2)即使是x2?x?2?0时，得出x?1?0，也要两个不等式联立

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??x2?x?2?0?x?2. ???x?1?0误解2看出这一点，但没有看出x2?x?2?0时，x?1可取全体实数，可合并得x1?2,x2??1，因而x??1未包含进去，仍不够完备.

（3）一般地，对ab?0，有两个逻辑关系需要清楚，其一是关系分解：

?b?0?b?0或?在此基础上可以变???或?；其二是符号讨论：ab?0???a?0?a?R通，得出多种解法.

解法1 由???或?知，原不等式等价于

??x2?x?2?0?x?2. (x?1)x?x?2?0????x?1?02或(x?1)x2?x?2?0?x??1,x?2. 取并集，合并得x?2及x??1.

解法2 讨论x2?x?2的符号，原不等式等价于

??x2?x?2?0?x?2. ???x?1?0??x2?x?2?0?x??1,x?2. 或???x?1?R取并集，合并得x?2及x??1.

解法3 讨论x?1的符号，原不等式等价于

??x?1?0?x?2. ?2??x?x?2?0??x?1?0?x??1,x?2. 或?2??x?x?2?0取并集，合并得x?2及x??1.

解法4 （补集法）先求不等式的存在域

(??,?1]?[2,??)

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