陕西省渭南市2019届高考数学二模试卷(理科) Word版含解析

解答： 解：由题意，以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球． ∵长方体的对角线长为=， ∴球直径为

，半径R=

，

2

因此，三棱锥P﹣ABC外接球的表面积是4πR=4π×（故选：D．

）=3π

2

点评：本题给出三棱锥的三条侧棱两两垂直，求它的外接球的表面积，着重考查了长方体对角线公式和球的表面积计算等知识，属于基础题．

12．过双曲线

=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作圆x+y=

2

2

的切

线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若 A．

B．

C．

=2﹣，则双曲线的离心率为( ) D．

考点：双曲线的简单性质．

专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：设右焦点为F′，由=2﹣，可得E是PF的中点，利用O为FF'的中点，可得OE

为△PFF'的中位线，从而可求PF′、PF，再由勾股定理得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率．

解答： 解：设右焦点为F′，则 ∵∴

=2+

﹣=2

， ，

∴E是PF的中点， ∴PF′=2OE=a， ∴PF=3a， ∵OE⊥PF， ∴PF′⊥PF，

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∴（3a）+a=4c，

∴e==，

故选：C．

点评：本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查抛物线的定义，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分.请将正确答案写在答题纸的指定区域内） 13．曲线C：y=

在点（1，0）处的切线l在y轴的截距为﹣1．

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题：计算题；导数的概念及应用；直线与圆．

分析：求出函数的导数，求得切线的斜率和切线方程，再令x=0，即可得到在y轴的截距．

解答： 解：y=的导数为y′=，

即有曲线C在点（1，0）处的切线l的斜率为k=1， 则曲线在点（1，0）处的切线l的方程为y=x﹣1， 令x=0，可得y=﹣1，

即有切线l在y轴的截距为﹣1． 故答案为：﹣1．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，正确求导是解题的关键．

14．设不等式组表示平面区域为D，在区域D内随机取一点P，则点P落在圆

x+y=1内的概率为

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．

考点：几何概型；二元一次不等式（组）与平面区域． 专题：概率与统计．

分析：画出图形，求出区域面积以及满足条件的P的区域面积，利用几何概型公式解答．

解答： 解：不等式组表示的区域D如图三角形区域，面积为内对应区域的面积为

，如图

=8，点P落在圆x+y=1

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由几何概型的公式得故答案为：

；

点评：本题考查了几何概型的概率求法；关键是明确区域以及区域面积，利用公式解答．

15．已知公比为2的等比数列{an}中存在两项am，an，使得aman=16a1，则

考点：等比数列的性质． 专题：等差数列与等比数列．

2

的最小值为．

分析：公比为2的等比数列{an}中存在两项am，an，使得aman=16a1，可得2=2，化为

m+n=6．再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．

2

解答： 解：∵公比为2的等比数列{an}中存在两项am，an，使得aman=16a1，a1≠0， m+n﹣24∴2=2， ∴m+n=6． 则号． ∴

的最小值为． =（m+n）（

）=（5++

）≥（5+2

）=，当且仅当n=2m=4时取等

2m+n﹣24

故答案为：．

点评：本题考查了等比数列的通项公式、“乘1法”和基本不等式的性质，考查了推理能力和计

算能力，属于中档题．

16．甲、乙、丙、丁四位同学被问到是否游览过西岳华山时，回答如下：甲说：我没有去过；乙说：丙游览过；丙说：丁游览过；丁说：我没游览过．在以上的回答中只有一人回答正确且只有一人游览过华山．根据以上条件，可以判断游览过华山的人是甲．

考点：进行简单的合情推理． 专题：综合题；推理和证明．

分析：假设甲去过，则甲乙丙说的都是假话，丁说的是真话，符合题意．

解答： 解：假设甲去过，则甲乙丙说的都是假话，丁说的是真话，符合题意．所以填甲去过．

故答案为：甲．

点评：本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．

三．解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足acosB+b=c． （Ⅰ） 求角A；

（Ⅱ） 若b，a，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．

考点：正弦定理；等差数列的性质；余弦定理． 专题：等差数列与等比数列；解三角形．

分析：（Ⅰ） 由正弦定理及三角函数恒等变换化简已知等式可得cosAsinB=sinB，由sinB≠0，解得cosA，结合A的范围即可得解．

（Ⅱ） 由（Ⅰ）及余弦定理，可得a=b+c﹣bc，由b、a、c成等比数列得a=bc，可得b+c﹣bc=bc，从而解得b=c，得证． 解答： （本小题满分12分）

解：（Ⅰ） 由正弦定理，得sinAcosB+sinB=sinC．… 而sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，…

故cosAsinB=sinB．在△ABC中，sinB≠0，故cosA=… 因为0＜A＜π，所以A=（Ⅱ） 由（Ⅰ）A=

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2

2

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．…

，在△ABC中，由余弦定理，得

a=b+c﹣bc，…

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由b、a、c成等比数列得a=bc，所以b+c﹣bc=bc

2

即（b﹣c）=0，从而b=c，… 故△ABC是等边三角形．…

点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，等比数列的性质等知识的应用，属于基本知识的考查．

18．现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下： （1）投资股市： 投资结果 获利40% 不赔不赚 亏损20% 概 率