2019届北京市首都师范大学附属中学高三下学期三模数学(理科)试题

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?AB//平面PDC；

（2）PA?BC，证明如下： 取BC中点E，连AC,AE,PE，

AD?DC,AD?4,DC?3,?AC?AD2?DC2?5，

?AB?AC,?AE?BC，PB?PC,PE?BC， AEIPE?E,AE,PE?平面APE,?BC?平面APE，

AP?平面APE，?BC?AP；

（3）平面PBC?平面ABCD，平面PBC?平面ABCD?BC，

PE?BC,PE?平面PBC,?PE?平面ABCD，

.四边形ABCD是直角梯形，AB//DC，AD?DC，AB?5，

AD?4，DC?3，?BC?25,PB?3,PE?2

以D为坐标原点，以DA,DC，过D点与PE平行的直线分别为x,y,z轴， 建立空间直角坐标系D?xyz，则A(4,0,0),B(4,5,0),C(0,3,0),P(2,4,2)，

uuuruuuruuurCP?(2,1,2),AB?(0,5,0),AP?(?2,4,2)，

r设平面PAB的法向量为n?(x,y,z)，

uuuvv?n?AB?0?5y?0uuuv则?v，即?，

?2x?4y?2z?0n?AP?0???y?0，令x?1，则z?1， r平面PAB一个法向量为n?(1,0,1)，

设直线PC与平面PAB所成角为?，

uuurrsin??|cos?CP,n?|?2?22?22?1?22?22， 322. 3直线直线PC与平面PAB所成角的正弦值为

答案第11页，总16页

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【点睛】

本题考查线面平行、线线垂直的证明，要注意空间垂直间的转化，考查用空间向量法求线面角，考查计算求解能力，属于中档题. 18．（Ⅰ）（-【解析】 【分析】

（Ⅰ）根据题意可得得c2＝a2﹣2，由e?内部，即可线AM的斜率的取值范围，

22x0y0（Ⅱ）题意F（2，0），设Q（0，y1），M（x0，y0），其中x0≠±2，则??1，可得

4222，0）U（0，）（Ⅱ）详见解析 22c2，解得即可出椭圆的方程，再根据点在其?a2直线AM的方程y?y0（x+2），求出点Q的坐标，根据向量的数量积和斜率公式，即可x0?2求出kBM﹣kAQ＝0，问题得以证明 【详解】

解：（Ⅰ）由题意可得c2=a2-2， ∵e=

c2=， a2∴a=2，c=2，

x2y2∴椭圆的方程为+=1，

42设P（0，m），由点P在椭圆C的内部，得-2＜m＜2，

答案第12页，总16页

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又∵A（-2，0）， ∴直线AM的斜率kAM=

m?0m22=∈（-，），

0?2222又M为椭圆C上异于A，B的一点， ∴kAM∈（-

22，0），（0，）， 22（Ⅱ）由题意F（2，0），设Q（0，y1），M（x0，y0），其中x0≠±2，

22x0y0则+=1，

42y0直线AM的方程为y=（x+2），

x0?2

令x=0，得点P的坐标为（0，

2y0

）， x0?2

由∠PFQ=90°，可得PF?FQ=0， ∴（-2，uur2y0

）?（-2，y1）=0， x0?2

2y0

即2+?y1=0，

x0?2

2x0?2解得y1=-， y02x0?2∴Q（0，-）， y0y0x0?2∵kBM=，kAQ=-，

x0?22y0∴kBM-kAQ=

y0x0?2+=0， x0?22y0故kBM=kAQ，即AQ∥BM 【点睛】

本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题

答案第13页，总16页

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19．（1）?；（2）?【解析】 【分析】

1e1；（3）详见解析. e?（1）求f(x)的导函数f(x)，令f?(x0)?0，即可求解；

（2）求出f(x)在?0,?单调区间，极值点，即可求解；

e??2??（3）转化为函数y?f(x),x?(0,)，与直线y?t,t?(?,0)恒有交点，即可证明结论. 【详解】

（1）f(x)?xlnx,f?(x)?lnx?1， f(x)在点x0,f?x0?处的切线与x轴平行，

1e1e??1f?(x0)?lnx0?1?0,lnx0??1,x0?，

e11?f(x0)?f()??；

ee（2）由（1）得f?()?0，当x??0,?时，

ee1??2??112f?(x)?0,0?x?，f?(x)?0,?x?，

eee112f(x)递减区间是(0,)，的增区间是(,)，

eee11当x?时，f(x)取得极小值，也是最小值为?，

ee函数f(x)在区间?0,?上的最小值?；

ee??2??1（3）由（2）得f(x)递减区间是(0,)，

1e11x?0,f(x)?0,f()??，

ee1?1?x??0,?,f(x)?(?,0)

e?e??1??t?y?f(x),y?t令，当??,0?时，

?e?答案第14页，总16页