2019届北京市首都师范大学附属中学高三下学期三模数学（理科）试题

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【分析】

由a4?a5?6a3求出q，即可求出?an?通项公式，根据等比数列与等差数列的关系，可得

?log2an?为等差数列，求出所有的负数或0项，即可求出结论.

【详解】

设等比数列?an?的公比为q，a2?1， 4a4?a5?6a3,a3q?a3q2?6a3,an?0,q?0，

q2?q?6?0,q?2或q??3（舍去）， ?an?a2qn?2?2n?4，log2an?n?4，

当n?4,log2an?0,n?5,log2an?0，

数列?log2an?的前n项和Sn的最小值是S3?S4??6.

n?4故答案为:an?2；-6.

【点睛】

本题考查等比数列的基本量计算、等比数列与等差数列的关系、等差数列前n项和最小值等知识，属于中档题. 13．1,1（答案不唯一） 【解析】 【分析】

即求命题的否定“?x,y?R,2?2?2xyx?y”为真命题的一组x,y值，可以应用基本不等式

求出满足不等式的充分条件，从中取出一组即可. 【详解】

“?x,y?R,2?2?2xyx?y”为假命题,

xyx?y其命题的否定“?x,y?R,2?2?2”为真命题，

2?2?22xyx?y?2x?y?1， 2命题的否定为真的充分条件为取x?1,y?1.

x?y?1?x?y,x?y?2， 2答案第7页，总16页

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故答案为：1,1（答案不唯一） 【点睛】

本题考查全称命题的真假求参数，属于基础题. 14．V1 T3 【解析】 【分析】

①根据平均的含义进行判断，②根据两次横坐标距离大小确定选择. 【详解】

（①设A,则Vi?ixi，yi）yi， xi0?y2?y3?y1, 由于0?x1?x2?x3, 所以

y1y2y1y3?, ?,即V1最大； x1x2x1x3②根据峰值的一半对应关系得三个点从左到右依次对应A1,A2,A3在第二次达到峰值一半时对应点，由图可知A3经历的时间最长，所以T1,T2,T3中最大的是T3. 【点睛】

本题考查数学实际应用以及图像识别，考查基本分析判断能力，属基础题. 15．(Ⅰ)

?33；(Ⅱ)b?7，. 314【解析】

分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得tanB?B=

3，则

π． 3（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=7．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得

sin?2A?B??33 ．14详解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理

ab?，可得bsinA?asinB， sinAsinB答案第8页，总16页

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又由bsinA?acos?B???π?π??asinB?acosB?，得???，

6?6??即sinB?cos?B???π??，可得tanB?3． 6?又因为B??0，π?，可得B=

π． 3π， 3（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=有b2?a2?c2?2accosB?7，故b=7． 由bsinA?acos?B???2π?3cosA?a

774311333 ????．727214因此sin2A?2sinAcosA?所以，sin?2A?B??sin2AcosB?cos2AsinB?

点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． 16．（1）a?100；（2）分布列详见解答，期望为【解析】 【分析】

（1）由已知中位数100，确定a的范围，再求出不小于100的数的个数，即可求出a； （2）随机变量X可能值为0,1,2，根据每组车“正点运行”概率求出X可能值为0,1,2的概率，即可求出随机变量的分布列，进而求出期望;

（3）利用方差表示数据集中的程度，说明疏堵工程完成后公交车的稳定程度. 【详解】

（1）B组数据的中位数为100，根据B组的数据a?100， 从B组中随机抽取一个数不小于100的概率是

4；（3）详见解答. 54， 5B组中不小于100的有4个数，所以a?100； （2）从A，B两组数据中各随机抽取一个数据，

答案第9页，总16页

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“正点运行”概率分别为,13， 55从A，B两组数据中各随机抽取一个数据， 记两次运行中正点运行的次数为X， X可能值为0,1,2，P(X?0)?428??， 5525124314P(X?0)?????，

555525133P(X?2)???，

5525X的分布列为： X 0 1 2 P 8 2512 253 25

E(X)?0?X期望为

81434?1??2??， 25252554； 5（3）对比两组数据，B组数据方差更小，说明疏堵工程完成后公交车运行时间更为稳定. 【点睛】

本题考查中位数和概率求参数，考查随机变量的分布列和期望，属于基础题. 17．（1）详见解答；（2）PA?BC，证明见解答；（3）【解析】 【分析】

（1）由已知AB//DC，即可证明结论；

（2）根据已知条件排除AD,AB,CD,PB,PC，只有PA,PD可能与BC垂直，根据已知可证PA?BC；

（3）利用垂直关系，建立空间直角坐标系，求出PC坐标和平面PAB的法向量，即可求解. 【详解】

（1）AB//DC,AB?平面PDC,CD?平面PDC，

答案第10页，总16页

22. 3uuur