高考导数专题(含详细解答)

(iii) 若a?1?1，即a?2，同理可得f(x)在(1,a?1)单调减少，在(0,1),(a?1,??)单调增加. (2) 考虑函数 g(x)?f(x)?x?则g?(x)?x?(a?1)?12x?ax?(a?1)lnx?x 2a?1a?1?2xg?(a?1)?1?(a?1?1)2 xx由于1

x1)?f(x)2x?1x?从而当x1?x2?0时有g(x1)?g(x2)?0，即f(2?0，故

f(x1)?f(x2)??1，当0?x1?x2x1?x2时，有

f(x1)?f(x2)f(x2)?f(x1)???1·········12分

x1?x2x2?x1

7.（本小题满分12分）已知函数

f(x)?(x3?3x2?ax?b)e?x

（1）如a?b??3，求f(x)的单调区间；

（2）若f(x)在(??,?),(2,?)单调增加，在(?,2),(?,??)单调减少，证明???＜6.

0），（3，??）（1）f(x)在(??,?3),(0,3)单调增加，在（?3，单调减.

(2)f'(x)??(x?3x?ax?b)e332?x?(3x2?6x?a)e?x??e?x[x3?(a?6)x?b?a].

由条件得：f'(2)?0,即2?2(a?6)?b?a?0,故b?4?a, 从而f'(x)??e[x?(a?6)x?4?2a].因为f'(?)?f'(?)?0,

∴x?(a?6)x?4?2a?(x?2)(x??)(x??)?(x?2)(x?(???)x???).

将右边展开，与左边比较系数得，?????2,???a?2.故????(???)?4???12?4a. 又(??2)(??2)?0,即???2(???)?4?0.由此可得a??6. 于是????6.

232?x38. （本小题满分100分）已知函数满足。（Ⅰ）求的解析式及

单调区间；（Ⅱ）若

答案详解（Ⅰ）

，求的最大值。

，

令得：。

，

得：，

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在

得：（Ⅱ）①当②当得：当 令

，

当

时，

；则

时，时，

时，

的解析式为

，

上单调递增，

，

，且单调递增区间为

得

在

，

上单调递增，

时，， ，

。

，

，当

的最大值为。

时，

；

，单调递减区间为。

与

矛盾； 。

解析:本题主要考查函数的求导和函数的单调性，利用函数单调性求极值。 （Ⅰ）先对函数求导得间；当

时，

。当

时，

单调递增，求得的的取值范围即为单调增区

单调递减，求得的的取值范围即为单调减区间。

，求导得的极值，求得关于

。讨论在不同取值的情况下函数表达式的取值范围，再构造函数

，

（Ⅱ）构造函数

的单调性，通过求得函数求导取极值，得出

9设

的最大值。

为常数，曲线

与直线

在点

相切。

（1）求的值；（2）证明：当

的图象过

时，点，代入得

。 。

答案详解（1）由

由在处的切线斜率为，又

时，

，故

，得

。

（2）由均值不等式，当记

，则

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令因此因此

在在

，则当

内是减函数，又由内是减函数，又由时，

。

时，，得，得

，所以，

。 ，

于是，当

解析:本题主要考查导数的应用及不等式的证明。 （1）由（2）令

的正负研究

与直线

在点，注意到的单调性。

，一般来说，我们的思路是证明（记

）

且

，然而对本题来说可能比较困难，函数式掺

相切得

过点

，且

，解方程即可求出，。

求导数，通过判断

，可考虑证明单调递减。对

解读第二问欲证的不等式为：

杂了对数和根式，求导计算会比较麻烦，于是我们想到放缩。那么如何放缩呢？对数求导显然比根式求导后的式子简单，于是我们考虑放缩根式，且放缩到求导后形式简洁的式子，一次函数是个理想的函数，这时，想到切线正好是一次的，且不会放缩的过大，于是我们取根式在

处的切线方程

（切线方程是个有力的放缩武器），接下来的证明就十分自然

，则

，不，注

了。如果不用放缩法，也可以化简该不等式，用换元法。我们取等式化为意到

时该式子为零，故有

，即

，求导得

这个因式，通分后对分子因式分解得，有

，可得导数小于零，

从而不等式获证。

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10. （本题满分100分）已知函数

在点

（为常数，是自然对数的底数），曲线的单调区间；

处的切线与轴平行。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求

（Ⅲ）

答案详解（Ⅰ）由

，其中

，得

为的导函数，证明：对任意

，

。

， 时，

时，

。 ，，

，所以

；

；

，。 在

处

，由于曲线

的切线与轴平行，所以（Ⅱ）由（Ⅰ）得令当因此

时，

，

，又

，因此

，，当，所以

时，；

的单调递增区间为，单调递减区间为，所以

（Ⅲ）因为 因此对任意由（Ⅱ）因此，当所以 设

，故

所以

时，，

，

。

等价于

，

时，。

，

。 单调递减。

，单调递增；当，故

，所以

的最大值为

，因为

时，

时，，

，

，单调递增。

，即

，因此对任意

。

解析:本题主要考查函数的求导和求解函数单调区间。 （Ⅰ）先对函数求导，得导函数（Ⅱ）由

，

，代入切点的横坐标值，即，这时不能直接判断

，可求得

。 ，

；当

。

的正负性，先令

时，

，通过求导判断该函数的单调性，然后可判断得当

时，

，从而判断出

的正负性，即 ，，分析函数

的单调递增区间为

，单调递减区间为

（Ⅲ）由题，可先将所证等价转化为证明

，

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，求导判断其单调性求得