高考导数专题(含详细解答)

3.已知函数y＝x3－3x＋c的图像与x轴恰有两个公共点，则c＝

A.－2或2 ； B.－9或3 ； C.－1或1； D.－3或1

答案详解A正确率: 53%, 易错项: C解析:本题主要考查导数在函数中应用。

对函数求导，得到函数的增减性和极值，作出函数图象。由图可知，当函数取极大

，

。

值和极小值时，有两个横坐标与之对应。极大值为2，极小值为－2。可知

故本题正确答案为A。

4. 16分）若函数y?f(x)在x?x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y?f(x) 的极值点. 已知a，b是

实数，1和?1是函数f(x)?x3?ax2?bx的两个极值点．

（1）求a和b的值；（2）设函数g(x)的导函数g?(x)?f(x)?2，求g(x)的极值点； （3）设h(x)?f(f(x))?c，其中c?[?2，2]，求函数y?h(x)的零点个数．

答案详解（1）由题设知，且，，解得

。

（2）由（1）知于是函数当当当

，因为

。

，所以

的根为

，

，

的极值点只可能是或

， ，故时，

是

时，时，或

的极值点，

的极值点，所以

的极值点为

。

，故不是

（3）由（1）知，其函数图象如下图所示，

第 13 页 共 34 页

先讨论

（

）的零点，即的零点为和； 的零点为的零点为

和； ，，

； ，，

，，

三个区间内； 三个区间内。

与

的交点的个数：

时，由图象得时，由图象得时，由图象得时，由图象得时，由图象得

令当

，现在考虑时，

的零点分别在的零点分别在

（

）的零点：

，

，

三

有两个根和，而有三个不同的根，分别在

有个零点。 有三个不同的根，分别在和，故

有个零点。 ，

，，，而

个区间内，当

时，

有两个不同的根和，故有两个根

和，而

，，

三个区间内，当

时，

有两个不同的根

有三个不同的根，，，满足

有个零点。

第 14 页 共 34 页

（，，）

有三个不同的根，故

综上可知，当时，函数有个零点；当时，函数有个零点。

解析:本题主要考查导数在研究函数中的应用。

（1）对函数求导，代入极值点使该点处导数值为，得到关于（2）由（1）问所得的假后列出结果。

（3）先结合图象分类讨论（

）的零点。

（

）的零点，再令

，分类讨论

，求出

的方程组，解出

的值。

的表达式，令其等于求极值点。验证极值点真

五、导数与图像

1．函数

f?x??ax?1?x?mn在区间?0,1?上的图象如图所示，则m,n的值可能是

A．m?1,n?1 B．m?1,n?2 C．m?2,n?1 D．m?3,n?1

2.若函数y?f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数，则函数y?f(x)在．．．区间[a,b]上的图象可能是

( )

第 15 页 共 34 页

y y y y o a b x o a o b x a o b x a b x A ． B． C． D．

3.【2010江西理数】如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S?t?S?0??0，则导函数y?S?t?的图像大致为

'??

六、导数与不等式

利用导数求解（证明）不等式 主要方法是：将不等式t(x)?g(x)左右两边的多项式移到一边，构造出一个新的函数f(x)?t(x)?g(x)，通过对f(x)求导，根据f?(x)的大小和导数的性质，结合已知条件进行求解或证明. 1.若f?x??x?2x?4lnx，则f??x?＞0的解集为

2第 16 页 共 34 页