高考导数专题(含详细解答)

所以极大值

在

， 且

。

内是增函数，在；函数

在

内是减函数；函数处取得极小值

在处取得

，且

（2）若，则。当变化时，的变化情况如下表：

所以极大值

在

，且

内是增函数，在

；函数

在

内是减函数；函数处取得极小值

在，且

处取得

。

解析:本题主要考查利用导数判断函数单调性。 （Ⅰ）求出这种情况下，函数在

处的导数，即为切线斜率。

（Ⅱ）首先求解出极值，然后对参数进行分类讨论，使用列表法，对函数和导数列表，列出函数的单调区间和极值。

三、求函数的极值与最值

1、极值的判别方法：当函数f(x)在点x0处连续时，

① 如果在x0附近的左侧f?(x)＞0，右侧f?(x)＜0，那么f(x0)是极大值； ② 如果在x0附近的左侧f?(x)＜0，右侧f?(x)＞0，那么f(x0)是极小值. 也就是说x0是极值点的充分条件为x0点两侧导数异号，而不是f?(x)=0.

2、最值的求法：求f (x)在[a，b ]上的最大值与最小值的步骤如下： (1) 求 f (x) 在区间 (a，b) 内的极值(极大值或极小值)；

(2) 将 y = f (x) 的各极值与端点处的函数值 f (a)、f (b) 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值.

注：极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较. 1.设函数f(x)?xe，则（ ）

A. x?1为f(x)的极大值点 B.x?1为f(x)的极小值点 C. x??1为f(x)的极大值点 D. x??1为f(x)的极小值点

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x答案详解D正确率: 53%, 易错项: B解析:本题主要考查函数极值的计算。

令导函数在

2.函数

求得

上单调递减，在

，且在上小于零，在为的极小值点。

上大于零，则

上单调递增，

f(x)?x3?3x2?1在x? 处取得极小值.

3.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.） 设f(x)?alnx?13?x?1,其中a?R，曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴. 2x2（Ⅰ） 求a的值；（Ⅱ）求函数f(x)的极值.

4. (本小题满分13分) 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单

a位：元/千克）满足关系式y??10(x?6)2，其中3

x?3售出该商品11千克. （I）求a的值.

（II）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.

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5．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A,B,C,D重合与图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E,F在AB上，是的一个等腰直角三角形斜 边的两个端点，设AE?FB?x(cm).

（1）某广告商要求包装盒的侧面积S(cm)最大，试问x应取何值？ （2）某厂商要求包装盒的容积V(cm)最大，试问x应取何值？并求出此时的高与底面边长的比值.

32切去阴四个点被切去

包装盒

答案详解（1），所以

时侧面积最大。

（2）增，当

时，递减，所以，当

，所以

。当

时，递

时，最大。此时，包装盒的高与底面边长的比

值为。

解析:本题主要考查函数和配方法求函数最值的方法。

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（1）由图写出侧面积的函数表达式，再对表达式化简、配方，即可求得取最大值对应的值。 （2）由图写出容积的函数表达式，再通过对函数求导，判断函数的单调性，从而求得取最大值对应的值，再求解高与底面边长的比值即可。

四、判断函数的零点

1.函数f(x)=2?3x的零点所在的一个区间是

A.（－2，－1）； B.（－1,0）； C.（0,1）； D.（1,2）

x答案详解B正确率: 64%, 易错项: C解析:本题主要考查连续函数的性质。

由于是连续函数，且在上单调递增，根据零点附近函数值符号相反，可

采用代入排除的方法求解。 A项B项，C项

，故A项错误； ，则零点定理知，故C项错误；D项

有零点在区间

上，故B项正确； ，故D项错误。综上所述：

符合题意的是B项。故本题正确答案为B。

2.设函数f(x)?1x?lnx(x?0),则y?f(x) 3

( )

11ee11C.在区间(,1)内有零点，在区间(1,e)内无零点；D.在区间(,1)内无零点，在区间(1,e)内有零点.

eeA.在区间(,1),(1,e)内均有零点； B.在区间(,1),(1,e)内均无零点； 答案详解D

正确率: 33%, 易错项: C

解析:本题主要考查导数的应用。

定义域为讨论上，

上，

，先对

求导，

，解得，

，

，故

在，故在

单调递减，在

单调递增。

在其上单调，上无零点；讨论

在其上单调，上有零点。

故本题正确答案为D。

易错项分析：零点存在定理不熟悉导致易错；零点存在定理适应于连续函数在给定区间里的零点问题，局限于判断在给定区间是否有零点，而对于在给定的区间有多少个零点却无法处理。

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