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第五章 平面向量 5.3 平面向量的数量积教师用书 理 苏教版

1.向量的夹角

→→

已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]. 2.平面向量的数量积

定义 几何设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的意义 乘积 3.平面向量数量积的性质 设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角.则 (1)e·a＝a·e＝|a|cos θ. (2)a⊥b?a·b＝0.

(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|； 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|. 特别地，a·a＝|a|或|a|＝a·a.

2

a·b(4)cos θ＝.

|a||b|

(5)|a·b|≤|a||b|.

4.平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b＝b·a；

(2)(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)＝λa·b(λ为实数)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

5.平面向量数量积有关性质的坐标表示

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到 (1)若a＝(x，y)，则|a|＝x＋y或|a|＝x＋y.

→

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离AB＝|AB|＝

2

2

2

2

2

x2－x1

2

＋y2－y1

2

.

(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.

a·bx1x2＋y1y2

(4)若a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则cos θ＝＝2. 222

|a||b|x1＋y1 x2＋y2

【知识拓展】

1.两个向量a，b的夹角为锐角?a·b>0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角?a·b<0且a，b不共线.

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2.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a－b. (2)(a＋b)＝a＋2a·b＋b. (3)(a－b)＝a－2a·b＋b. 【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.( × )

(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( √ ) (3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.( × )

→→→→

(4)在四边形ABCD中，AB＝DC且AC·BD＝0，则四边形ABCD为矩形.( × ) π

(5)两个向量的夹角的范围是[0，].( × )

21.设a，b，c为平面向量，有下面几个命题： ①a·(b－c)＝a·b－a·c； ②(a·b)·c＝a·(b·c)； ③(a－b)＝|a|－2|a||b|＋|b|； ④若a·b＝0，则a＝0，b＝0. 其中正确的有________个. 答案 1

解析 由向量的数量积的性质知①正确；由向量的数量积的运算不满足结合律知②不正确；由(a－b)＝a－2a·b＋b＝|a|－2|a||b|cos θ＋|b|知③不正确；对于④，∵a·b＝|a||b|·cos θ＝0，∴|a|＝0或|b|＝0或cos θ＝0.∴a＝0或b＝0或a⊥b，故④不正确. →→

2.(教材改编)已知△ABC中，BC＝4，AC＝8，∠C＝60°，则BC·CA＝________. 答案 －16

→→→→

解析 画图可知向量BC与CA夹角为角C的补角(图略)，故BC·CA＝BC×ACcos(π－C)＝1

4×8×(－)＝－16.

2

π

3.(教材改编)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，m).若向量a，b的夹角为，则实数m＝________.

6答案

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

解析 ∵a·b＝(1，3)·(3，m)＝3＋3m， 又a·b＝1＋

2

3

2

π22

×3＋m×cos ，

6