2018届高考数学复习-三角函数：（三）三角函数的图像与性质（解析版）

2018届数学高考一轮复习 三角函数：三角函数的图像与性质 知识梳理·题型剖析

5π?11π(I)f?＝2sin＋1 ?4?4

π

＝2sin＋1

4

＝2.

2π

(II)因为T＝＝π,所以函数f(x)的最小正周期为π.

2πππ

由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋,k∈Z,

2423ππ

得kπ－≤x≤kπ＋,k∈Z.

88

3ππ

kπ－，kπ＋?,k∈Z. 所以f(x)的单调递增区间为?88??

[例5]?(1)(2013辽宁文)设向量a?3sinx,sinx,b??cosx,sinx?,x??0,??.

??2??(I)若a?b.求x的值； (II)设函数f?x??a?b,求f?x?的最大值.

??【答案】

1?(2)(2013北京文)已知函数（fx）?(2cos2x?1)sin2x?cos4x.

2(I)求f(x)的最小正周期及最大值; (II)若??(?,?),且f(?)?2,求?的值.

22

11（fx）?(2cos2x?1)sin2x?cos4xcos2xsin2x?cos4x22【答案】解:(I)因为=

?12?2(sin4x?cos4x)sin(4x?)4,所以f(x)的最小正周期为2,最大值为2. =2=2???9?17??5?2sin(4??)?1??(,?)4???(,)4???（f?）?42444,所以42,故2,所以(II)因为. 因为,所以

9???16.

?(3)(2015北京理)已知函数f(x)?2sinxcosx?2sin2x.

222(Ⅰ) 求f(x)的最小正周期；

(Ⅱ) 求f(x)在区间[?π，0]上的最小值.

2018届数学高考一轮复习 三角函数：三角函数的图像与性质 知识梳理·题型剖析 【答案】(1)2?,(2)?1?2 2【解析】

试题分析：先用降幂公式和辅助角公式进行三角恒等变形,把函数化为f(x)?周期公式T?2??求出周期,第二步由于???x?0,则可求出?3??x??,借助正弦函数图象 找出444Asin(?x??)?m形式,再利用

??在这个范围内当x??4??试题解析：(Ⅰ) f(x)?3?2时,f(x)取得最小值为：?1?.

242xxx11?cosx2sincos?2sin2?2?sinx?2??

22222,即x????2222 ?sin(x?)?sinx?cosx?422222??2?； (1)f(x)的最小正周期为T?1?(2)????x?0,????3?3???2??,x???x??,当x?时,f(x)取得最小值为： ?1?4244442考点： 1.三角函数式的恒等变形；2.三角函数图像与性质. ???(4)(2015天津理)已知函数f?x??sin2x?sin2??x??,x?R 6??(I)求f(x)最小正周期；

(II)求f(x)在区间[-p,p]上的最大值和最小值.

34【答案】(I)?; (II) f(x)max?13,f(x)min??.

24考点：1.两角和与差的正余弦公式；2.二倍角的正余弦公式；3.三角函数的图象与性质.

ππ

ωx＋?在?，π?上单调递减，则ω的取值范围是( ) ★[例6](1)(2017·洛阳模拟)已知ω＞0，函数f(x)＝sin?4??2??

15??1，3? ， A.?B.?24??24?

2018届数学高考一轮复习 三角函数：三角函数的图像与性质 知识梳理·题型剖析

10，? C.?D．(0,2] ?2?πππω＋≥，242ππππ3ππππππ1

ω＋，πω＋???，?，所以[解析] A[由＜x＜π得ω＋＜ωx＋＜πω＋，由题意知?解得4??22??24224442π3π

πω＋≤，42

5≤ω≤.]

4

πππ

0，?上单调递增,在区间?，?上单调递减,则ω等于 ( ) (2)(2011·山东)若函数f(x)＝sin ωx (ω>0)在区间??3??32?

23A. B. C.2 D.3 32答案 B

解析 ∵f(x)＝sin ωx(ω>0)过原点,

ππ

∴当0≤ωx≤,即0≤x≤时,y＝sin ωx是增函数；

22ω

π3ππ3π

当≤ωx≤,即≤x≤时,y＝sin ωx是减函数. 222ω2ω

π

0，?上单调递增, 由f(x)＝sin ωx (ω>0)在??3?

ππ?ππ3，上单调递减知,＝,∴ω＝. 在??32?2ω32

(3)(2013课标Ⅰ文)设当x??时,函数f(x)?sinx?2cosx取得最大值,则cos??______.

???

255; 【答案】

?(4)(2016上海文)若函数f(x)?4sinx?acosx的最大值为5,则常数a=______.

【答案】?3

π(5)(2016上海文)设a?R,b?[0,2π].若对任意实数x都有sin(3x-)=sin(ax+b),则满足条件的有序实数对(a,b)的对

3数为( )

A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B

【变式训练】

??????1.(2013天津文)函数f(x)?sin?2x??在区间?0,?上的最小值是 ( )

4???2?22?A.?1 B.2 C.2 D.0 【答案】B

sin x＋1

2.函数y＝ (0

sin x

答案 2

11

解析 令sin x＝t∈(0,1],则函数y＝1＋,t∈(0,1].又y＝1＋在t∈(0,1]上是减函数,所以当t＝1时,y取得最小值2.

tt

π

－2x＋?的单调减区间为________． 3.函数f(x)＝sin?3??π5ππ?2x－π?的kπ－，kπ＋?(k∈Z)[由已知函数为y＝－sin?2x－?， [解析] ?欲求函数的单调减区间，只需求y＝sin1212?3?3????

单调增区间即可．

ππππ5π

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

2321212

2018届数学高考一轮复习 三角函数：三角函数的图像与性质 知识梳理·题型剖析

π5πkπ－，kπ＋?(k∈Z)．] 故所求函数的单调减区间为?1212??

π

2x－?的单调递增区间是________． 4.函数f(x)＝tan?3??

kππkπ5π?[解析] ??2－12，2＋12?(k∈Z)

π

0，?上单调递增,且在这个区间上的最大值是3,那么ω＝________. 5.函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在??4?4答案

3

ππππ0，?上单调递增,且在这个区间上的最大值是3,所以2sin ω＝3,且0<ω<,因解析 因为f(x)＝2sin ωx (ω>0)在??4?442

4此ω＝. 3

1π?

6．(2017·长沙模拟(一))函数y＝sin??2x＋3?，x∈[－2π，2π]的单调递增区间是( )

5π?－2π，－5π?和?π，2π? －2π，－? A.?B.3?3??3???5ππ?π，2π? －，? C.?D.?33??3?

ππ1ππ1ππ

2kπ－，2kπ＋?(k∈Z)，由2kπ－≤x＋≤2kπ＋得4kπ[解析] C [令z＝x＋，函数y＝sin z的单调递增区间为?22??2322325ππ5ππ

－，?，故选C.] －≤x≤4kπ＋，而x∈[－2π，2π]，故其单调递增区间是??33?33

7.(2016浙江文)已知2cos2x?sin2x?Asin(?x??)?b(A?0),则A=______. 【答案】2. 28.[2017全国II理]函数f?x??sinx?3cosx?3???（x??0,?）的最大值是 ． 4?2?【答案】1

2【解析】f?x??1?cosx?3cosx?31??cos2x?3cosx? 44?3?3???，，那么，当时，函数取得最大值1. ???cosx??1cosx?cosx?0,1x?0,???????222????

9.[2017全国II文]函数fx=2cosx?sinx的最大值为 5

解析： f(x)?sinx?2cosx?22?12sin(x??)?5sin(x??)?5

ππ?x＋π?,求函数f(x)在区间?－π，π?上的最大值与最小值. 2x－?＋2sin?x－?·10.已知函数f(x)＝cos?sin3???4??4??122?13

解析:由题意得：f(x)＝cos 2x＋sin 2x＋(sin x－cos x)·(sin x＋cos x)

22

13

＝cos 2x＋sin 2x＋sin2x－cos2x 22

π13

2x－?. ＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x＝sin?6??22

πππ5ππ

－，?,∴2x－∈?－，?, 又x∈??122?6?36?π3

2x－?∈?－，1?. ∴sin?6??2??π

故当x＝时,f(x)取最大值1；

3π3

当x＝－时,f(x)取最小值－. 122

1b. 11.(2013陕西文)已知向量a?(cosx,?),b?(3sinx,cos2x),x?R, 设函数f(x)?a·22??