2018-2019学年浙江省杭州市西湖区九年级（上）期末数学试卷

23．（12分）如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，O为BC边中点，BC＝8，点E、G是线段AB上的动点（不与端点重合），点H、F是线段AC上的动点，且EF∥GH∥BC．设点O到EF、GH的距离分别为x、y． （1）若△EOF的面积为S：

①用关于x的代数式表示线段EF的长； ②求S的最大值；

（2）以点O为圆心，当以OE为半径的圆与以OG为半径的圆重合时，求x与y应满足的关系式，并求x的取值范围．

【解答】解：（1）①如图1，连接OA，交EF于M， ∵AB＝AC，O为BC边中点， ∴OA⊥BC， ∵EF∥BC， ∴AM⊥EF， ∵BC＝8， ∴OB＝BC＝4，

在Rt△AOB中，根据勾股定理得，OA＝∵点O到EF的距离为为x， ∴OM＝x，

∴AM＝OA﹣OM＝3﹣x， ∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴∴

， ，

＝3，

∴EF＝（2﹣x）；

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②由①知，EF＝（3﹣x），

∴S＝S△OEF＝×（3﹣x）?x＝﹣（x﹣3x）＝﹣（x﹣）+3， ∵﹣＜0，

∴当x＝时，S最大＝3；

（2）如图2，

∵以OE为半径的圆与以OG为半径的圆重合， ∴OE＝OG，过点O作OD⊥AB于D， ∴DE＝DG， 连接OA，

由（1）知，OA⊥BC，OA＝3， 在Rt△AOB中，sinB＝

＝，cosA＝

＝，

2

2

过点E作EP⊥BC于P，PE＝x， 在Rt△BPE中，sinB＝∴BE＝

＝x，

，

过点G作DQ⊥BC于Q，GQ＝y， 在Rt△BQG中，BG＝

＝y，

∴DE＝EG＝（BG﹣BE）＝（y﹣x）， 在Rt△BDO中，BD＝OB?cosB＝4×＝∴DE＝BD﹣BE＝∴（y﹣x）＝∴y＝﹣x+

﹣x， ﹣x，

，

（Ⅰ）

∵点E、G是线段AB上的动点（不与端点重合）， ∴0＜y＜3（Ⅱ）， 由（Ⅰ）（Ⅱ）得，﹣

＜x＜

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∵x＞0， ∴0＜x＜

（0＜x＜

）．

即：y＝﹣x+

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