高考数学一轮复习导数与函数的极值最值教学案

－x－1－xkkx－1

[解] f′(x)＝＋＝2. 2

xxx1?1?

①若k＝0，则f′(x)＝－2在?，e?上恒有f′(x)＜0，

x?e?

?1?所以f(x)在?，e?上单调递减． ?e?

k?x－?

kx－1?k?

②若k≠0，则f′(x)＝2＝.

xx2k?x－?1??k??(ⅰ)若k＜0，则在?，e?上恒有＜0.

x2?e?

?

1?

?

1?

?1?所以f(x)在?，e?上单调递减，

?e?

1

(ⅱ)若k＞0，由k＜，

e

11?1?得＞e，则x－＜0在?，e?上恒成立， kk?e?

k?x－??k??1，e?上单调递减． 所以＜0，所以f(x)在?e?x2??

1?1?综上，当k＜时，f(x)在?，e?上单调递减，

e?e?1?1?所以f(x)min＝f(e)＝＋k－1，f(x)max＝f??＝e－k－1.

e?e?⊙考点3 利用导数研究生活中的优化问题

利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤

(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)．

(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0.

(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值． (4)回归实际问题，结合实际问题作答．

某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售

价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝

＋10(x－6)，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售

x－3

?

1?

a2

价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．

(1)求a的值；

(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获

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得的利润最大．

[解](1)因为当x＝5时，y＝11， 所以＋10＝11，解得a＝2.

2

(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为

2

y＝＋10(x－6). x－3

a2

所以商场每日销售该商品所获得的利润为

f(x)＝(x－3) ?

?2＋10(x－6)2?

?

?x－3?

2,2

＝2＋10(x－3)(x－6)3＜x＜6. 则f′(x)＝10[(x－6)＋2(x－3)(x－6)] ＝30(x－4)(x－6)．

于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x f′(x) f(x) (3,4) ＋ ↗ 4 0 极大值42 (4,6) － ↘ 由上表可得，当x＝4时，函数f(x)取得极大值，也是最大值． 所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值且最大值等于42.

即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．

(1)利用导数研究生活中的优化问题的关键：理清数量关系、选取合适的自变量建

立函数模型．

(2)注意：函数的定义域由实际问题确定，最后要把求解的数量结果“翻译”为实际问题的答案．

某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为

r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元

/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．

(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域．

(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．

[解](1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2

2

2

元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr)元．又根据题意得200πrh＋160πr＝12 1π223

000π，所以h＝(300－4r)，从而V(r)＝πrh＝(300r－4r)．由h＞0，且r＞0可得0

5r5＜r＜53，故函数V(r)的定义域为(0,53)．

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ππ32

(2)因为V(r)＝(300r－4r)，所以V′(r)＝(300－12r)．令V′(r)＝0，解得r1＝

555，r2＝－5(因为r2＝－5不在定义域内，舍去)．

当r∈(0,5)时，V′(r)＞0，故V(r)在(0,5)上为增函数； 当r∈(5,53)时，V′(r)＜0，故V(r)在(5,53)上为减函数．

由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8，即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大.

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