高考数学一轮复习导数与函数的极值最值教学案

经检验当a＝1，b＝3时，函数f(x)在x＝－1处无法取得极值， 而a＝2，b＝9满足题意， 故a－b＝－7.

?1??1?(2)函数f(x)在区间?，3?上有极值点等价于f′(x)＝0有2个不相等的实根且在?，3??2??2?

内有根，由f′(x)＝0有2个不相等的实根，得a＜－2或a＞2.

1?1?1?1??1?由f′(x)＝0在?，3?内有根，得a＝x＋在?，3?内有解，又x＋∈?，3?，所以2≤ax?2?x?2??2?10

＜， 3

?10?综上，a的取值范围是?2，?.]

3??

已知函数极值点或极值求参数的两个要领

(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．

[教师备选例题] 若函数f(x)＝e－aln x＋2ax－1在(0，＋∞)上恰有两个极值点，则a的取值范围为( ) A．(－e，－e) 1??C.?－∞，－? 2??D [∵f′(x)＝e－＋2a，(x＞0) ∴由f′(x)＝0得a＝. 1－2x令g(x)＝(x＞0)． 1－2x由题意可知g(x)＝a在(0，＋∞)上恰有两个零点． e又g′(x)＝－xx2xe??B.?－∞，－? 2??D．(－∞，－e) axxexxex2x＋1x－1(x＞0)， 21－2x1由g′(x)＞0得0＜x＜1，且x≠. 2由g′(x)＜0得x＞1. ?1??1?∴函数g(x)在?0，?，?，1?上递增，在(1，＋∞)上递减． ?2??2?

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又g(0)＝0，g(1)＝－e， 结合图形(图略)可知a∈(－∞，－e)，故选D.] 1.若x＝－2是函数f(x)＝(x＋ax－1)e

A．－1 C．5e

A [因为f(x)＝(x＋ax－1)e＋2)x＋a－1]e

x－1

2

－3

2

x－1

的极值点，则f(x)的极小值为( )

B．－2e D．1

x－1

－3

，所以f′(x)＝(2x＋a)e

2

x－1

＋(x＋ax－1)e

2x－1

＝[x＋(a2

2

.因为x＝－2是函数f(x)＝(x＋ax－1)e

2

x－1

的极值点，所以－2是x＋(a＋

x－1

2)x＋a－1＝0的根，所以a＝－1，f′(x)＝(x＋x－2)e

x－1

＝(x＋2)(x－1)e.令f′(x)＞0，

解得x＜－2或x＞1，令f′(x)＜0，解得－2＜x＜1，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当x＝1时，f(x)取得极小值，且f(x)

极小值

＝f(1)＝－1.]

2．已知函数f(x)＝x(x－c)在x＝2处有极小值，则实数c的值为( ) A．6

C．2或6

B．2 D．0

2

B [由f′(2)＝0可得c＝2或6.当c＝2时，结合图像(图略)可知函数先增后减再增，在x＝2处取得极小值；当c＝6时，结合图像(图略)可知，函数在x＝2处取得极大值．故选B.]

3．(2019·长春市质量监测)若函数f(x)＝(x＋ax＋3)e在(0，＋∞)内有且仅有一个极值点，则实数a的取值范围是( )

A．(－∞，－22] C．(－∞，－3]

x2

2

xB．(－∞，－22) D．(－∞，－3)

x2

C [f′(x)＝(2x＋a)e＋(x＋ax＋3)e＝[x＋(a＋2)x＋a＋3]e，令g(x)＝x＋(a＋2)x＋a＋3.由题意知，g(x)在(0，＋∞)内先减后增或先增后减，结合函数g(x)的图像特征知，

x2

a＋2??－＞0，

2???a＋3≤0，

a＋2??－≤0，

2或???a＋3＜0，

解得a≤－3.故选C.]

⊙考点2 用导数求函数的最值

求函数f(x)在[a，b]上的最大值、最小值的步骤

(1)求函数在(a，b)内的极值．

(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)．

(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值．

(2019·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝2x－ax＋b.

(1)讨论f(x)的单调性；

3

2

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(2)是否存在a，b，使得f(x)在区间[0,1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出

a，b的所有值；若不存在，说明理由．

[解](1)f′(x)＝6x－2ax＝2x(3x－a)． 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.

3

2

a????若a＞0，则当x∈(－∞，0)∪?，＋∞?时，f′(x)＞0；当x∈?0，?时，f′(x)＜0.?3??3?????故f(x)在(－∞，0)，?，＋∞?单调递增，在?0，?单调递减．

?3??3?

若a＝0，f(x)在(－∞，＋∞)单调递增．

aaaa????若a＜0，则当x∈?－∞，?∪(0，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈?，0?时，f′(x)＜0.

3???3?????故f(x)在?－∞，?，(0，＋∞)单调递增，在?，0?单调递减．

3???3?

(2)满足题设条件的a，b存在．

(ⅰ)当a≤0时，由(1)知，f(x)在[0,1]单调递增，所以f(x)在区间[0,1]的最小值为f(0)＝b，最大值为f(1)＝2－a＋b.此时a，b满足题设条件当且仅当b＝－1，2－a＋b＝1，即a＝0，b＝－1.

(ⅱ)当a≥3时，由(1)知，f(x)在[0,1]单调递减，所以f(x)在区间[0,1]的最大值为f(0)＝b，最小值为f(1)＝2－a＋b.此时a，b满足题设条件当且仅当2－a＋b＝－1，b＝1，即a＝4，b＝1.

aaaaa?a?(ⅲ)当0＜a＜3时，由(1)知，f(x)在[0,1]的最小值为f??＝－＋b，最大值为b或2

27?3?

－a＋b.

3

若－＋b＝－1，b＝1，则a＝32，与0＜a＜3矛盾．

27

若－＋b＝－1,2－a＋b＝1，则a＝33或a＝－33或a＝0，与0＜a＜3矛盾．

27综上，当且仅当a＝0，b＝－1或a＝4，b＝1时，f(x)在[0,1]的最小值为－1，最大值为1.

(1)讨论函数的单调性时，一要注意函数的定义域；二要注意分类的标准，做到不

重不漏．

(2)对于探索性问题，求出参数值后要注意检验．

[教师备选例题] 已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)． (1)求函数f(x)的单调区间；

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3

a3a3

(2)当a＞0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值． 1[解](1)f′(x)＝－a(x＞0)， x1①当a≤0时，f′(x)＝－a＞0，即函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)． x11②当a＞0时，令f′(x)＝－a＝0，可得x＝， xxa11－ax当0＜x＜时，f′(x)＝＞0； a11－ax当x＞时，f′(x)＝＜0， ax?1?故函数f(x)的单调递增区间为?0，?， ?a??1?单调递减区间为?，＋∞?. ?a?综上可知，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)； ?1?当a＞0时，函数f(x)的单调递增区间为?0，?， ?a??1?单调递减区间为?，＋∞?. ?a?1(2)①当0＜≤1，即a≥1时，函数f(x)在区间[1,2]上是减函数，所以f(x)的最小值a是f(2)＝ln 2－2a. 11②当≥2，即0＜a≤时，函数f(x)在区间[1,2]上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)a2＝－a. 11?1??1?③当1＜＜2，即＜a＜1时，函数f(x)在?1，?上是增函数，在?，2?上是减函数． a2?a??a?又f(2)－f(1)＝ln 2－a， 1所以当＜a＜ln 2时，最小值是f(1)＝－a； 2当ln 2≤a＜1时，最小值为f(2)＝ln 2－2a. 综上可知， 当0＜a＜ln 2时，函数f(x)的最小值是f(1)＝－a； 当a≥ln 2时，函数f(x)的最小值是f(2)＝ln 2－2a. 1－x1?1? (2019·郑州模拟)已知函数f(x)＝＋kln x，k＜，求函数f(x)在?，e?上xe?e?

的最大值和最小值．

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